Harmonic type sums and their arithmetic properties

Harmonik serinin ilk $n$ teriminin toplamına \emph{$n$. harmonik sayı} denir; şöyle ki $n \ge 1$ için, $$h_n = \sum_{k=1}^n \frac 1 k.$$ Bu sayılar, bir takım aritmetik özellikleri sağlar. Örneğin, $n \ge 2$ için $n$. harmonik sayı tam sayı değildir ve bu ilk kez Theisinger tarafından 1915 yılında gösterilmiştir. Bu sayıların bir genelleştirmesi ise, 1996 yılında Conway ve Guy tarafından verilmiştir. Onlar, $h_n^{(1)} = h_n$ olma koşuluyla, \emph{$r$. dereceden $n$. hiperharmonik sayıyı} $$h_n^{(r)} = \sum_{k=1}^n h_k^{(r-1)}$$ şeklinde tanımlamışlardır. Bu tanımda, $n,r \in \mathbb Z^+$ için $n\ge 1$ ve $r\ge2$ şartları da sağlanır. Mez\H o 2007 yılında, bu sayıların 1 dışında tam sayı olmadığını öngören bir sanı ortaya atmıştır. Aynı sanıyı belirttiği makalede, $n>1$ ve $r \le3$ için $h_n^{(r)}$ sayısının tamsayı olmadığını da göstermiştir. Bu tezde, tamsayı olmayan hiperharmonik sayıların dereceleri için bilinen üst sınırlar geliştirilmiştir. Özellikle, tüm $r \le 35\, 001$ ve $n>1$ değerleri için karşılık gelen hiperharmonik sayıların tamsayı olmadığı kanıtlanmıştır. Ayrıca, $n$ çift bir sayıya veya bir asal kuvvete eşitse, ya da $r$ tek sayı ise, $h_n^{(r)}$ sayısının aynı özelliği sağladığı gösterilmiştir. Üstelik hemen hemen tüm $(n,r)$ ikililerine karşılık gelen hiperharmonik sayıların tam sayı olmadığı, kısa aralıklardaki asal sayılar kullanılarak ispatlanmıştır. Tüm bunların aksine, son analizimiz hiperharmonik tamsayıların varlığını göstermiştir. Özel olarak belirtmek gerekirse, 153 tane farklı $\alpha \mod{748\, 440}$ değeri için $r=64\cdot(2^\alpha - 1) +32$ iken $h_{33}^{(r)}$ sayısının tamsayı olduğu görülmüştür. Bu özelliği sağlayan en küçük $r$ değeri ise $64\cdot(2^{2659} - 1) +32$ sayısına eşittir. Belirtilen bu $r$ değerleri, hiperharmonik tamsayıların sonsuzluğuna işaret eder ve Mez\H o'nün sanısını çürütür.