Signal representation and recovery under partial information, redundancy, and generalized finite extent constraints

Bu tezde doğrusal doğal ve kesirli Fourier dönüşümleri ile ilgili bir çok temel konu ve problem ele alındı. İlkolarak, genelleştirilmiş sonlu kaplam kısıtları altında sinyalin temsil edilmesi üzerine çalışıldı. Sonra birden çok dönüşüm bölgesinde kısmi ve artık bilgiler verildiğinde, sinyalin geri çatılması problemiyle uğraşıldı. Sinyalin temsili kısmında, herhangi iki doğrusal doğal bölgede sonlu aralıklara hapis olan sinyallerin örnekleme, serbestlik derecesi, ve zaman-sıklık tanım alanı konularına odaklanıldı. Bu sinyallerin serbestlik derecesi için zaman-bant genişliği çarpımının genellenmesi olan ikili doğrusal doğal genişlik çarpımı kavramı geliştirildi. İkili doğrusal doğal genişlik çarpımının bu sinyallerin paralelkenar şeklindeki zaman-sıklık tanım alanına karşılık geldiği ispatlandı. Ayrıca, bu sinyaller ikili doğrusal doğal genişlik çarpımına eşit sayıdaki en az örnek sayısı ile bu iki doğrusal doğal bölgede temsil edilebilir. Bu örneklerle hesaplanan ayrık doğrusal doğal dönüşümünün, sürekli doğrusal dönüşüm için oldukça iyi bir yaklaşım verdiği aralarındaki tam ilişki verilerek ispatlandı. Bunun yanısıra, rastgele sinyallerin en az örnek ile temsil edilmesi problemine, doğrusal doğal dönüşüm örnekleme teoremi kullanılarak bakıldı. Bu problemin zaman-sıklık tanım alanını içine alan en küçük paralelkenarı bulma problemine karşılık geldiği ispatlandı. Bundan yararlanılarak, ikili doğrusal doğal genişlik çarpımının sinyallerin serbestlik derecesine zaman-bant genişliği çarpımından daha çok yaklaştığı görüldü. Bu yaklaşımın temsili verimliliği için kuramsal sınırlar verildi. Ayrıca, doğrusal doğal bölgelerin zaman-sıklık düzlemi ile ilişkisi kuruldu. Her doğrusal doğal bölgenin aslında ölçeklenmiş kesirli Fourier bölgelerine karşılık geldiği ve herhangi bir doğrusal doğal bölgenin ilişkili olduğu kesir değeri ile etiketlenebileceği ispatlandı. Bu kavramlar açıklıklı optik sistemlerin incelenmesi konusunda kullanıldı. Sistemin serbestlik derecesinin bulanabilmesini sağlayan bir method geliştirildi. Bunun yanı sıra, dalganın herhangi bir düzlemde en az ne kadar örnek ile temsil edilebileceği araştırıldı. Tezin diğer kısmında ise, iki yada daha çok kesirli Fourier bölgelerinde kısmi bilgiler verildiğinde sinyalin geri çatılması üzerine çalışıldı. Bu problem için yeni bir doğrusal cebirsel yaklaşım sunuldu ve kararsızlık oranı verilen noktalar arasındaki artık bilgi miktarının ölçüsü olarak kullanıldı. Kararsızlık oranının bilinen nokta sayısı ve diziliminden nasıl etkilendiği incelenerek, verilen noktalararasındaki artıklık ve bilgi ilişkileri araştırıldı.