Lineer olmayan bazı q-denklem sistemlerinin çözümleri

Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Tez çalışmasının birinci bölümünde önce çalışmanın amacı ve hedefi belirtilmiştir. Daha sonra ise tez çalışmasını oluşturan konularla ilgili literatürde yapılan çalışmalardan bahsedilmiş ve ayrıca konuların tarihçesi ve neden önemli olduğunu vurgulamak amacıyla yapılan çalışmaların literatürdeki yerinin incelenmesi yapılmıştır. Tez çalışmasının ikinci bölümü dört alt başlıktan oluşmaktadır. Birinci alt başlıkta limitsiz hesap olarak bilinen 𝑞-analiz ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Ek olarak, bazı yerlerde örnekler ile konu açıklanmaya çalışılmıştır. Bu kavramlar çalışmanın ilk orijinal kısmını oluşturan üçüncü bölüm için temel teşkil etmektedir. İkinci alt başlıkta 𝑞-analiz'ün bir genelleştirilmesi olan ve bu tez çalışmasının ikinci orijinal kısmını oluşturan dördüncü bölüm için ihtiyaç duyulan (𝑝,𝑞)-analiz ile ilgili temel tanım, teorem ve kavramlara yer verilmiştir. (𝑝,𝑞)-türev tanımı örnek verilerek açıklanmıştır. Ayrıca, (𝑝,𝑞)-analiz de zincir kuralı için herhangi bir genel türev olmadığı bir örnekle vurgulanmıştır. Son olarak çalışmanın ikinci orijinal kısmında çok sık kullanılacak olan (𝑝,𝑞)-integral tanımı ve ilgili bazı temel teoremler verilmiştir. Üçüncü alt başlıkta tez çalışmasının dördüncü bölümünde karşılaşılacak olan zaman ölçeği kavramının tanımı verilmiş ve örneklerle açıklanmıştır. Son alt başlıkta, sabit nokta tanımı örneklerle açıklanmış ve daralma dönüşümü kavramı tanıtılmıştır. Schaefer sabit nokta teoremi, Krasnoselskii sabit nokta teoremi ve Banach sabit nokta teoremi ele alınmıştır. Ayrıca üçüncü bölümde karşılaşılacak olan, 𝒦𝑛 kümesi 𝑛. merebeden matrislerin kümesini göstermek üzere, öncelikle 𝒦𝑛+ koniği tanımlanmıştır. Çalışmanın üçüncü bölümü tezin ilk orijinal kısmını oluşturmaktadır ve 𝑞-analiz üzerinde birinci mertebeden başlangıç değer probleminin çözümlerinin varlığı ve tekliği araştırılmaktadır. Schaefer sabit nokta teoremi, Krasnoselskii sabit nokta teoremi ve Banach sabit nokta teoremleri kullanılarak üç ana teoremin ispatı verilmektedir. Çalışmanın dördüncü bölümü tezin ikinci orijinal kısmını oluşturmaktadır ve 𝑞-analizü'ün bir genelleştirilmesi olan (𝑝,𝑞)-analiz üzerinde ikinci mertebeden bir (𝑝,𝑞)-fark denkleminin çözümleri farklı metodlarla incelenmiştir. Tez çalışmasının beşinci bölümünde elde edilen sonuçlar ve yapılan genelleştirilmelere yer verilmiş ve yapılabilecek çalışmalar için öneriler sunulmuştur.