Matrisler yardımıyla genelleştirilmiş fibonacci ve lucas sayıları ile ilgili özdeşlikler üzerine

Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano veya Pisa'lı Leonard olarak da bilinir. Avrupa orta çağının en genç ve başarılı matematikçisi olarak tanınır. Babası, Fibonacci'ye aile ticaretini takip etmesi ve hesaplama sanatını öğrenmesi için Cezayir'in Bugia şehrinde ilk eğitimini aldırır. Burada Fibonacci Hint-Arap hesap teknikleriyle tanışır. Hint-Arap sistemindeki matematiksel hesaplamaların nasıl yapıldığını açıklayan Liber Abaci kitabını yazar. Şüphesiz ki Fibonacci'yi tanınır yapan Liber Abaci kitabında bahsettiği 1,1,2,3,5,8,13,21,… sayı dizisidir. Bu sayı dizisi Fibonacci dizisi olarak bilinir. Bu dizi elemanlarına Fibonacci sayıları denir. Başlangıç koşulları farklı seçildiğinde oluşan 2,1,3,4,7,11,18,… sayı dizisine ise Lucas dizisi denir. Literatürde bu iki dizi ile ilgili yapılan çalışmalar sonucunda birçok özdeşlik elde edilmiştir. Bu özdeşliklerin ispatında matrislerden, matematiksel tümevarımdan ve Binet formüllerinden yararlanılmıştır. Birinci bölümde çalışmanın içeriği hakkında bazı bilgiler kısaca verilmiştir. Ayrıca karesel matrisler ile ilgili literatürde bulunan bazı çalışmalar tanıtılmıştır ve alınan matrislerin genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili özdeşliklerin türetilmesinde nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu sayılarla ilgili bazı özelliklere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak terimleri {0,1,±a,±b,a+b,-ab} olan 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerin n. kuvveti hesaplanmıştır. Hesaplamalar yapılırken seçilen kare matrislerin özdeğerleri ve özvektörleri kullanılarak köşegenleştirilip n. kuvvetleri hesaplanmıştır. Daha sonra buradan hareketle elde edilen matrislerle genelleştirilmiş Fibonacci sayısı ve genelleştirilmiş Lucas sayısı olan bazı yeni 2×2 boyutlu matrisler elde edilmiştir. Daha sonra terimleri {0,1,±k,t,2t,±kt,k^2+2t} olan bazı 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerinde n. kuvveti hesaplanmıştır. Elde edilen bu matrisler yardımıyla da yukarıda verilen özdeşliklere benzer yeni özdeşlikler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise 3×3 boyutlu matrislere yer verilmiştir. Bu bölümde bazı kaynaklardan alınan 3×3 boyutlu matrislerin özdeşlik elde etmede nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. Daha sonra 3×3 boyutlu bazı matrisler verilip n. kuvvetleri köşegenleştirme yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Bu matrisler yeni özdeşlikler elde etmek için kullanılmıştır. Bu özdeşliklerden bazıları aşağıda verilmiştir. Beşinci bölümde sonuç ve öneriler yer almaktadır.