A study of the modern theory of polarization on extensions of one dimensional topological insulators and disordered systems

Modern polarizasyon teorisi yoluyla topolojik ve kuantum faz geçişini tanımlamak için çalışıldı. Mutlak polarizasyonun elektrostatik tanımı problemini, bir anyon ve katyon zinciri aracılığıyla gösterildi. Bu ayrık yaklaşımdan sürekli bir yaklaşıma geçildi ve Berry fazının adyabatik evrim altında ortaya çıktığını kanıtlandı. Resta'nın konum operatörünü polarizasyon ile bağlantısı kanıtlandı ve bir sistemin polarizasyon dağılımı gösterildi. Bu kavramları kullanarak Su-Schrieffer-Heeger modelinde bant yapıları, topolojik değişmezlikler ve simetriler üzerinde çalışıldı. Bu temel bilgilerle, torus düğümlerinin ortaya çıkışı ve mesafeye bağlı SSH modelinde topolojik geçişin tanımlanmasını analiz edildi. Düğüm teorisinin tanımlarından, Klein şişe düğümlerini kullanarak yeni bir sistem kurmaya çalışıldı. Mesafeye bağlı SSH modelindeki mesafe vektör yapısını takiben, Klein şişe parametrelerini kullanarak; sıkıştırılmış torus, figür 8 ve şişe şekli ile gerçek bir fiziksel sistem kurmaya çalışıldı. Tüm parametrelerde, boş kafeslere atlama gözlendi. Klein şişe düğümleri, Klein şişesinin parametreleri yoluyla gözlemlemeye çalışıldı. Her durumda, Klein şişesinin dört boyutlu doğası nedeniyle, Klein şişesinin 3 boyutlu yorumlarında kesişen eğrilerle karşılaşıldı. Sistemi daha iyi anlamak için, Berry aşaması ve sistemin dağılım ilişkisinden geçildi. Önemli bir şeyle karşılaşmadıktan sonra, temel çokgenler üzerinde bir düğüm yapısı elde etmeye çalışıldı. Bir Hopf bağlantısı ve iki bağlantısı kalkmış çember, olası bir kesişim noktasıyla elde edildi. Düğüm diyagramlarındaki kesişim noktası, numerik bir yaklaşımla bulunmaya çalışıldığı için, yorumlaması zorlaştı. Projenin karmaşıklığı nedeniyle, modern polarizasyon teorisini incelemek için Anderson modeline geçildi. Anderson lokalizasyon hakkında bir arka plan, transfer matrisi yöntemi verildi. Mott'un iletkenlik ilişkisini belirtildi ve hareketlilik kenarı kavramını tartışıldı. Resta'nın lokalizasyon teorisini karmaşık $ z $ sayısını tanıtarak gösterildi. Bununla, lokalize durumlarda $ \abs {z} $ 'nin 1 ve delokalize durumlarda 0 olduğu kanıtlandı. Ayrıca lokalizasyonun ölçeklendirme teorisinden geçildi. Ölçeklendirme teorisini anlamak için, renormalizasyon grubu kavramı tanıtıldı ve bu fikrin dört insanın yazdığı makalede nasıl kullanıldığı tartışıldı. İletkenliğin ölçeklendirme tabanının sadece üç boyutta kritik bir değer sergilediğini gözlemlendi ve dört insanın varsayımları ve sonuçları incelendi. Resta'nın fikrini kullanarak, sistemin polarizasyon varyansının boyut ölçeklendirmesini inceleyerek ve Resta'nın fikriyle bir renormalizasyon akışı getirerek dört insanın sonuçlarını elde etmeye çalışıldı. Zemin durumunda tek bir durumu inceleyerek düşük sıcaklık sınırını gözlemlendi. Bununla, dört insanın sonuçları incelendi. Mott'un hareketlilik kenarındaki tartışmasına dayanarak, sistemin tüm durumların ortalamasında olduğu yüksek sıcaklık sınırı incelendi. Geçiş noktasını, akış şemaları ve boyut ölçeklendirme kullanılarak tüm sabit boyutlarda iki sabit nokta (itici ve çekici) bulundu. Dört insanın sonuçlarını, sabit noktaları inceleyerek, bir ve üç boyutta kanıtlanıldı ve sabit noktaların yakınsama problemi nedeniyle iki boyutlu çözümlerin belirsizliği belirtildi. Sistemin Binder kümülantı ve analojik hareketlilik kenarını gözlemleyerek iletkenlik benzetmesini ve Resta'nın fikriyle bağlantısı daha da sağlamlaştırıldı. Binder kümülant ve hareketlilik kenarı argümanında analojik davranış üzerinde aynı itici sabit noktayı bulduk.