Olasılıksal metrik uzaylar ile kuazi-düzgün uzaylar arasındaki bazı ilişkiler

Derleme niteliğindeki bu tez çalışmasında, olasılıksal metrik uzaylar ve kuazi-düzgünlük kavramları ile ilgilenilmektedir. İlk olarak, topolojik uzaylar ile ilgili temel kavramlar, dağılım fonksiyonları uzayları, t-norm ve üçgen fonksiyonu kavramları verilmiştir. Kuazi-düzgün uzaylar ve özellikleri tanıtılmıştır. Her kuazi-düzgünlüğün bir düzgünlük olmadığını gösteren çeşitli örnekler verilmiştir. Her kuazi-düzgünlüğün bir topoloji doğurduğunun ispatı verilerek bu topolojinin bazı topolojik özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, üçgen fonksiyonu yardımıyla tanımlı olasılıksal metrik uzay ve t-norm yardımıyla tanımlı Menger olasılıksal metrik uzay kavramları verilmiştir. Üçgen fonksiyonu yardımıyla tanımlı olasılıksal metrik uzay kavramı için, uygun süreklilik koşulu altında, bir düzgünlük belirlenebildiğinden böylece bu uzay üzerinde, düzgünlüğün doğurduğu topolojinin tanımlanabilmesinden bahsedilmiştir. Benzer şekilde, her (p,q) ∈ X × X noktasına karşılık genişletilmiş reel sayılardan [0,1] kapalı aralığına tanımlı F(p,q) fonksiyonlarının soldan sürekli, dağılım fonksiyonları olduğu, t-norm kavramı yardımıyla tanımlı (X,F,t) Menger olasılıksal metrik uzayı verildiğinde, X kümesinin metriklenebilir olduğu ifade edilmiştir. Dolayısıyla X üzerinde bir metrik topolojiden bir düzgünlük elde edildiği ve bu düzgünlüğün doğurduğu topoloji ile metrik topolojinin aynı olduğu gözlenmiştir. Son bölümde ise Menger olasılıksal metrik uzayından farklı olarak F(p,q) fonksiyonları soldan sürekli olmadığında, belirli koşullar altında t-norm kavramı yardımıyla tanımlı (X,F,t) uzayı verildiğinde, X kümesinin bir kuazi-düzgünlüğünün doğurduğu topolojiyle topolojik uzay olması ve bu uzayın bazı özellikleri incelenmiştir. Bu topolojinin, Menger olasılıksal metrik uzayı üzerindeki metrik topoloji ile ilişkisi verilmiş, birinci sayılabilir T2(Hausdorff) olduğu elde edilmiş ve bu uzayın kuazi-metrik olduğu belirlenmiştir.