PT-simetrik bir potansiyel içeren doğrusal olmayan yüksek mertebe kübik-kuintik Schrödinger denkleminde optik solitonlar

Doğada pek çok olgu, nonlineer (doğrusal olmayan) denklem sistemleriyle modellenir. Nonlineer bilimsel araştırmalar konusundaki en önemli gelişmeler nonlineer dalga yayılımı problemleri konusunda öne çıkmaktadır. Sıklıkla, verilen bir nonlineer sistemin araştırılmasına, optik, akışkanlar mekaniği, plazma fiziği ve biyolojideki ilişkili deneysel sistemin bir yaklaşımı olarak, bir boyutlu bir kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünün elde edilmesiyle başlanır. Bu tip denklemlerin çoğunun, bilinen nonlineer dalga tipi çözümleri vardır ve bunların bir kısmı da soliton olarak isimlendirilmiştir. Solitonlar, elastik çarpışmalar yapan ve çarpışma sonrası formunu koruyarak sadece faz kayması görünen lokalize dalga çözümleridir. Solitonun geçmişi 1834 yılına dayanır. Bu tip lokalize ve formunu koruyarak kilometrelerce ilerleyen bir dalga ilk kez John Scott Russell tarafından İskoçya'da dar ve sığ bir kanalda gözlemlenmiştir. Russell daha sonra bu dalgayı "solitary wave-yalnız dalga" olarak isimlendirmiştir. Nonlineer dalgaların modellenmesinde kullanılan sine-Gordon, Korteweg-de Vries (KdV) ve nonlinear Schrödinger (NLS) gibi kısmi türevli diferansiyel denklemlerin soliton tipi çözümleri kabul ettikleri uzun yıllardır bilimsel literatürde gösterilmiştir. Evrende ölçülebilen bütün fiziksel gözlemlerin sonuçları, reel büyüklüklerle ifade edilebilir. Kuantum mekaniğinde bütün operatörlerin (örneğin Hamiltonyen) özdeğerlerinin reel olmaları gerekir ve reel spektrumu garanti edebilmek için kullanılan operatörler Hermityen (kendine eş) olamlıdır. Fakat son yıllarda yapılan bazı çalışmalarda bu gerekliliğin zayıflatılabileceği gözlendiği gibi ve operatörlerin uzay-zaman simetrisini (PT -simetri) sağlaması durumunda, Hermityen olmayan operatörlerinde bütünüyle reel spektrum yaratabileceği gösterilmiştir. Bu çalışmada kullandığımız potansiyel de PT -simetrik olma özelliği taşımaktadır, yani V(x) = V*(-x) ilişkisini sağlar. Kullanılan PT -simetrik potansiyel aşağıdaki bir kompleks yapıda tanımlanmıştır: Vpt =V (x)+iW (x) (1) Burada V(x) ve W(x), sırasıyla, PT -simetrik kompleks potansiyelin reel ve imajiner kısımlarıdır. Potansiyelin reel kısmı çift fonksiyon özelliğine sahipken, imajiner kısmı tek fonksiyondur. Bu çalışmada, aşağıda ifade edilen, dördüncü mertebeden dispersiyon terimi ve bir dış potansiyel içeren doğrusal olmayan kübik-kuintik nonlineer Schrödinger denkleminin soliton çözümlerinin sayısal olarak varlığı ve kararlılık (stabilite) analizleri incelenmiş ve sonuçlar kesin çözümlerle karşılaştırılmıştır. iu_z+u_xx+a|u|^2u+gu_xxxx+b|u|^4u+Vptu = 0 (2) Verilen denklemde u kompleks değerli türevlenebilir fonksiyonu, u_xx kırılımı modelleyen terimi, a üçüncü mertebeden doğrusal olmayan terimin katsayısını, g terimi dördüncü mertebeden dispersiyon teriminin katsayısını ,b beşinci mertebeden doğrusal olmayan terimin katsayısını ve Vpt PT-simetrisi özelliği sağlayan potansiyeli temsil eder. Bu tezin amacı, PT -simetrisi özelliği sağlayan potansiyelin ve dördüncü mertebe dispersiyon teriminin (u_xxxx), soliton çözümünde ve bu çözümlerin kararlılığında yarattığı etkiyi gözlemlemektir. Bölüm 1'de, optik solitonlarla ilgili çalışmaların tarihsel gelişimlerinden kısaca söz edilmiş ve dördüncü mertebeden dispersiyon terimi ve PT -simetrik potansiyel içeren, doğrusal olmayan kübik ve kübik-kuintik Schrödinger denklemlerinin yapısı ve uygulama alanları anlatılmıştır. Bunların yanı sıra, bu bölümde, denklemin çözümünde kullanılmış olan sayısal analiz yöntemleri de açıklanmıştır. Ayrıca analitik ve sayısal olarak dördüncü mertebe dispersiyon terimi içeren NLS denkleminin soliton çözümlerini inceleyen çalışmalardan da bahsedilmiştir. Çalışmada kullanılan PT -simetrik potansiyelin tanımı verilmiş, fiziksel anlamı ve sağlaması gereken özellikler açıklanmıştır. Bu bölümde, CQNLS denkleminin soliton tipi çözümlerinin elde edilmesinde kullanılan spektral renormalizasyon (SR) metodunun literatürde kullanıldığı problemlerden bahsedilmiş, metodun temel yaklaşımı anlatılmıştır. Tezin amacı, gerekli literatür taraması ve tezin hipotezi sırasıyla verilmiştir. Bölüm 2'de Ablowitz ve Musslimani'nin ortaya koyduğu Spektral Renormalizasyon (SR) yönteminden ve yöntemin temel prensiplerinden bahsedilmiştir. Bu sayısal yöntemin bir modifikasyonu ile dış potansiyel içeren ve dördüncü mertebeden dispersiyon terimi bulunan CQNLS denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Bu yöntemde, denkleme u(x;z) = f (x)e^imz formunda bir çözüm aranmış olup f (x) kompleks değerli fonksiyonu Fourier uzayında iteratif olarak çözülmüştür. Daha sonra, elde edilen solitonların stabilite analizi için Ayrık adımlı Fourier metodu (Split-step Fourier Method) kullanılmıştır. Bölüm 3, aşağıdaki gibi verilen potansiyelsiz halde, (1+1) boyutlu dördüncü mertebeden bir dispersiyon terimi içeren, kübik-kuintik NLS denklemine ayrılmıştır: iu_z+au_xx+|u|^2u+gu_xxxx+b|u|^4u = 0 (3) Literatürde, kuintik terimin ihmal edildiği halde, (b=0) bu denklemin analitik çözümleri belli parametreler için u(x,z)=(3a^2/10gamma)^1/2.sech^2(x/(20gamma/a)^1/2)exp(i4a^2z/25gamma) (4) formunda elde edilmiş ve soliton tipi çözümler incelenmiştir. Bu bölümde, sayısal algoritmamızın doğruluğunu test etmek amacıyla, elde edilen bu kesin çözüm ve SR algoritmasından elde edilen sayısal çözümlerin üst üste düştüğü gösterilmiştir. Bu çözümlerde dördüncü mertebeden dispersiyon teriminin soliton yapıları üzerindeki etkisi araştırılmış ve son olarak bu solitonların stabiliteleri incelenmiştir. Bölüm 4, (1+1) boyutlu dördüncü mertebeden dispersiyon terimi ve PT -simetrik potansiyel içeren kübik-kuintik NLS denkleminin sayısal çözümlerini ve kararlılık analizlerini içermektedir. Bu bölümde, çalışmada kullanılan PT -simetrik potansiyel tanımlanmış ve farklı parametreler altında bu potansiyel altında analitik çözümleri üretebilmek için u(x; z) = f (x)e^i(mz+g(x)) çözüm önerisi yapılmıştır. Burada f (x) ve g(x) henüz yapısı belli olmayan reel değerli fonksiyonlar olarak kabul edilmiştir. Bu çözüm önerisi denklemde yerine konarak elde edilen çözümler kesin çözümle karşılaştırılmış ve kullanılan PT -simetrik potansiyelin yapısı aşağıda verilen ¸sekilde elde edilmiştir: Vpt = [V1sech^2(x)+V2sech^4(x)]+i[W3sech^3(x)tanh(x)] (5) Potansiyelde bulunan katsayıların soliton çözümüne nasıl etki ettiği sayısal olarak incelenmiş ve sonuçlar tartışılmıştır. Ayrıca dispersiyon teriminin katsayısı olan gamma ve özdeğer mü ile maksimum genlik arasındaki ilişkiler yine sayısal olarak incelenmiş ve sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir. Sayısal çözümleri elde etmek için kullanılan spektral renormalizasyon metodu ile elde edilen soliton çözümleri, çeşitli parametreler için analitik çözüm ile kar¸ıla¸stırılmı¸stır. Daha sonra, bu solitonların stabilite analizi için Ayrık adımlı Fourier metodu (Split-step Fourier Method) kullanılmı¸s ve elde edilen sonuçlar grafikler üzerinde gösterilmiştir. Son olarak, dispersiyon teriminin (gamma) ve özdeğerlerin (mü) solitonun kararlılığı üzerindeki etkisi incelenip bulunan sonuçlar grafiklerle gösterilmiş ve sonuçlar yorumlanmıştır. Bölüm 5'de tezde elde edilen tüm sonuçlar ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Potansiyelsiz denklemde ve bir dış potansiyel içeren denklemdeki sonuçlar özetlenip, sisteme eklenen dış potansiyelin etkisi tartışılmıştır. Ayrıca önceki bölümlerden elde edilen sonuçlar ışığında dispersiyon terimi gamma ve özdeğer mü'nün de çözümler üzerindeki etkileri de bu bölümde tartışılmıştır. Bu tezde MATLABR2010a bilgisayar programı kullanılmış ve bütün çözümler bu program ile elde edilmiştir.