Phase models and computations for oscillators

Osilatörler, doğal ve mühendislik ürünü birçok sistemin önemli bileşenleri olarak, elektronik ve biyoloji gibi birçok disiplinde, onlarca yıldır bir araştırma odağı haline gelmişlerdir. Otonom osilatörlerin zaman referansı sağlama becerisi ve bağlaşımlı osilatörlerin senkronizasyonu, en iyi şekilde, osilatör fazı olarak adlandırılan bir değer ile betimlenir. Değişikliğe uğratılmış ve bağlaşımlı osilatörler için faz hesaplamaları ve faz dinamiğini ortaya koyan denklemler, elektronik ve biyolojide, salınımlı sistem davranışı ve gürültü gibi istenmeyen olgulardan en az şekilde etkilenen osilatörlerin tasarımı konusunda bir anlayış geliştirilmesini sağlamışlardır. Öncelikle, osilatörler için genelleştirilmiş faz mefhumunu oluşturan isokron kavramını sunuyoruz. Osilatörler için isokron kavramı, 1974 yılında Arthur Winfree tarafından ilk olarak ortaya atılmıştır ve matematiksel biyolojide biyolojik osilatörleri incelemek üzere yoğun şekilde kullanılmıştır. İsokronlar, bir osilatör için genelleştirilmiş faz kavramını geliştirmede kullanılmışlardır ve osilatör sarsım analizi formülasyonlarının temelini oluşturmaktadırlar. Bir osilatörün isokronlarını hesaplamak çok güçtür. Bazı çok basit düzlemsel osilatörler dışında, isokronlar analitik olarak hesaplanamazlar ve bu durumda nümerik teknikler kullanılmak zorundadır. İsokronların hesaplanması için önceden önerilen nümerik metodlar, boyutu ikiden yüksek olan ve bu durumda düzlemsel olmayan osilatörler için tamamen kullanışsız hale gelir. Bu tezde, isokronların lokal fakat karesel yaklaşımlarını hesaplamak için kesin ve dikkatle geliştirilmiş bir teori ile nümerik teknikler sunuyoruz. Bu konuda, önceki yayınlarda isokronların ancak lokal doğrusal yaklaşımlarını hesaplamak için teori ve nümerik metodlar önerilmektedir. Geliştirdiğimiz metodlar geneldir ve yüksek boyuttaki osilatörlere uygulanabilmektedir. Bu tezde ayrıca, isokron hesaplamaları için örnekler sunuyoruz, basit ve analitik bir örnekte yaklaşık sonuçlarımızı kesin değerlerle karşılaştırıyoruz ve karmaşık osilatörlerde metodlarımızı test ediyoruz. Elektronik ve biyoloji disiplinlerinde son 70 yılda osilatör analizi konusunda yapılmış çalışmalardan faydalanarak, otonom osilatörler için faz denklemleri üzerine birleştirici bir teori sunuyoruz. İsokron teorisine dayalı olan genelleştirilmiş faz kavramı temeline bağlı olarak, faz denklemleri için genel bir teori takdim ediyoruz ve birleştirici bir teorinin parçaları halinde, değişikliğe uğratılmış osilatörler için kesin fakat pratik anlamda kullanışsız bir faz denklemi ile isokronların doğrusal (literatürde önceden gösterildiği şekilde) ve karesel (yeni ve daha yüksek doğruluğa sahip) yaklaşımlarına dayalı kullanışlı faz denklemleri çıkarıyoruz. Bu faz denklemlerinin (yarı) analitik faz hesaplamaları için kullanımlarını tartışıyoruz ve nümerik faz hesaplamaları için daha basit ve daha yüksek doğruluğa sahip faz hesaplama yöntemlerini açıklıyoruz. Birkaç örnek üzerinde koşulmuş nümerik hesaplama deneyleri aracılığıyla, açıklanan değişik türdeki faz hesaplama yöntemlerinin ve faz denklemlerinin doğruluklarını karşılaştırıyoruz. Biyokimyasal osilatörler hücrelerde değişik fonksiyonları yerine getirmektedirler. Örneğin, canlıların biyolojik saatlerini belirlemektedirler. Sürekli değerli osilatörler için isokronlara dayalı faz hesaplama teknikleri, gürültü gibi bazı sarsımlardan etkilenen değişik türdeki osilatörlerin davranışlarını karakterize etmek için kullanılmışlardır. Bu tezde, bu faz denklemlerinin ve faz hesaplama düzenlerinin kullanım alanını, ayrık değerli moleküler sistemler olan biyokimyasal osilatörleri içine alacak şekilde genişletiyoruz. Özellikle, ayrık değerli moleküler osilatörler için SSA (Stokastik Simülasyon Algoritması) ile oluşturulmuş örnek yollar üzerinde anlık faz hesaplamaları yapmayı sağlayan teknikleri açıklıyoruz. Moleküler osilatörleri oluşturan mekanizmaların ayrık değerli ve rastgele tabiatından kaynaklanan gürültünün etkileri, bu faz hesaplamaları aracılığıyla karakterize edilebilir. Elektronik ve biyolojide, osilatörlerin modellenmesi ve analizi üzerine çalışmaların, birbirleriyle etkileşime girmeden bağımsız olarak yürütüldükleri anlaşılmaktadır. Osilatör analizi üzerine elektronik alanındaki çalışmalarda isokron kavramından doğrudan yararlanılmamasına rağmen, her iki disiplinde birbirinden tamamıyle farklı terminolojiler ve formülasyonlar kullanılmış olsa da benzer kavramlar, modeller ve sarsım analiz teknikleri geliştirilmiştir. Bu tezde, birbirinden ayrık gözüken bu iki disiplindeki osilatör analizi üzerine yapılan çalışmalardaki bağlantılar da ortaya çıkarılmaktadır.