An adaptive mesh refinement (AMR) method for particle-resolved simulations of multiphase flows

Gün geçtikçe artan bilgisayarlı hesaplama kabiliyetleri, karmaşık fiziksel sistemleri simüle etmeyi sağlayacak nümerik metotların gelişmesini sağlamıştır. Ancak küçük boyut ve kısa zaman ölçeği sebebiyle çok fazlı akışların numerik modellenmesi halen zorluğunu korumaktadır. Arayüz-izleme gibi direkt nümerik simulasyon (DNS) metotları tüm ölçekleri çözümleyerek çok fazlı akışlar ile ilgili değerli öngörüler elde edilmesini sağlamaktadır. Fakat, iki faz arasındaki keskin arayüz sebebiyle direkt numerik simulasyon modellerinin bir çoğunun geliştirilmesinde hücre çözünürlükleri çok büyük rol oynamaktadır. Toplam hesaplama alanı düşünüldüğünde çok küçük bir alanı kaplayan arayüz için tercih edilen çözünürlüğün tüm alana uygulanması ise verimli bir yöntem değildir. İlk defa Berger ve Oliger [Berger ve Oliger, 1984] tarafından hiperbolik sistemlerin çözümü için geliştirilen blok yapılı adaptif örgü artırma (AMR) yöntemi, bölgesel olarak ağ yapısının geliştirilmesini sağlamaktadır. Düzgün yuvalanma prensibine uygun olarak, önceden belirlenmiş bir hata kriterini aşan bölgeler artırma hiyerarşisine bağlı kalarak yeniden ayrıklaştırılır. Almgren et al. [Almgren et al., 1998] bu ayrıklaştırma yöntemini, sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerinin çözümü için de uygulanan ikinci-derece projeksiyon metodu ile birleştirmiş ve örgü seviyelerindeki zaman adımlarını da adaptif hale getirerek verimliliği artırmıştır. Ancak her bir zaman adımının bitiminde farklı çözünürlükteki örgü seviyelerinin senkronizasyonu kaçınılmaz hale gelmiştir. Öte yandan bu algoritma sıkıştırılamaz akışların simulasyonunda çok önemli olan kütle korunum kriterini yaklaşık olarak hesaplamaktadır. Bu sebeple, korunumu sağlayabilmek adına algoritma daha da kompleks hale gelmektedir. Vanella et al. [Vanella et al., 2010] aşamalı örgü düzeni kullanarak AMR metodunu katı-sıvı etkileşimi problemlerine uygulamıştır. Her ne kadar çok-seviyeli çok-örgülü Poisson çözücüsü örgü seviyeleri arasındaki senkronizasyon adımını basitleştirmiş ve kütle korunum kriterini tam olarak sağlamış olsa da, tek bir zaman adımını tüm seviyelere uygulayarak hesaplama verimini düşürmüştür. Bu tezde geliştirilen algoritma, Ünverdi ve Tryggvason [Ünverdi ve Tryggvason, 1992] tarafından geliştirilen sonlu-hacim/arayüz-izleme metodu ile adaptif zaman adımlı örgü artırma yöntemini birleştirmektedir. Buradaki amaç çok fazlı akış denklemlerini çözerken korunum ilkelerini tam olarak sağlamak ve aynı zamanda örgü artırım uygulamasında adaptif zaman adımı yönteminin avantajlarından faydalanmaktır. Geliştirilen algoritma ilk kez Harlow ve Welch [Harlow ve Welch, 1965] tarafından uygulanan aşamalı örgü düzenini kullanarak örgü seviyeleri arasındaki senkronizasyon adımını da basitleştirmektedir. Geliştirilen algoritmanın validasyonu iki problem üzerinde çalışılarak yapılmıştır: (1) Değişken özkütle/viskozite kullanarak çözülen Hagen-Poiseuille problemi ve (2) sabit baloncuk kullanılarak çözülen çok fazlı akış problemi. Her ne kadar sonuçlar başarılı olsa da, ilerdeki çalışmalarda algoritma hareketli ve deforme olabilen baloncukları da simule edebilecek şekilde geliştirilmelidir. Nihai algoritma için performans testleri de yapılmalıdır.