Pell Denklemleri

Bu tez temel olarak dört bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; öncelikle sayılar teorisi ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi. Bu bölümün ikinci kısımında da sürekli kesirler hakkında bilgi verildi. ?d' nin sürekli kesir açılımının nasıl elde edileceği gösterildi.İkinci bölümde; Pell denklemleri hakkında öncelikle kısa bir bilgi verildikten sonra genel olarak x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±N Pell denklemlerinin pozitif tamsayı çözümleri üzerinde duruldu. Pell denklemlerinin temel çözümünün tanımı verilerek sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla nasıl hesaplanabileciği üzerinde duruldu. Bulunan temel çözümler ile de Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin nasıl elde edileceği gösterildi. x^2-dy^2=1 Pell denkleminin çözümlerini sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla hesaplamak için alternatif olarak Bhaskara'nın methodundan bahsedildi.Üçüncü bölümde; x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin temel çözümlerinin nasıl elde edilebileceği hakkında bilgi verildi. Ayrıca, elde edilen temel çözümler yardımıyla x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerini elde etmek için gerekli olan formüller verildi.Son olarak dördüncü bölümde; k pozitif tamsayı ve d?{k^2±4,k^2±1} olmak üzere x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin bir çözümü varsa denklemlerin tüm pozitif tamsayı çözümleri genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ile verildi. Özel olarak x^2-5y^2=±1 ve x^2-5y^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin Fibonacci ve Lucas sayılarına karşılık geldiği gösterildi.