Politopik matris ayrışımı (PMA): Yeni bir veri ayrıştırma aracı

Matrisleri çarpanlarına ayırma yöntemleri sinyal işleme ve makine öğrenmesi uygulamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemler, bu alanlardaki problemlerde kullanılan çok sayıda algoritmanın temelini oluşturur. Biz de temel problemlerden biri olan girdi verisinin içine gömülü bilgiyi keşfetmeye çalışıyoruz. Bu problem için genel bir çözüm stratejisi olarak, girdi verisi iki faktör/matrisin çarpımı olarak modellenmiştir. Bu, sinyal işleme literatüründe Kör Kaynak Ayrımı (Kör Veri Ayrıştırma) olarak bilinir. Bu tezde, yeni bir veri ayrıştırma yaklaşımı olarak Polytopic Matrix Factorization'ı (PMF) tanıtıyoruz. Girdi verilerini, bir politoptan gelen bazı gizli vektörlerin bilinmeyen doğrusal dönüşümleri olarak modelliyoruz. Politop seçimi, gizli vektörlerin varsayılan yapısını ve bunların ilişkilerini belirliyor. İlk olarak, gizli vektörlere ilişkin olarak PMF'nin tanımlanabilirlik kriterini ve tanımlanabilirlik koşullarını sunuyoruz. Tanımlanabilirlik için, politopa sığabilecek maksimum hacimli elipsoidin, özel bir sıkışma kısıtlaması ile gizli vektörlerin dışbükey kabuğunda bulunmasını gerektiren yeterli bir koşul tanıtıyoruz. Uygulamalarda yaygın olarak kullanılan niteliklere karşılık gelen özel politop durumlarının PMF tanımlanabilirlik sonuçlarını sunuyoruz. Ardından, PMF'in uygulanabileceği politopların karakterizasyonunu ile PMF'nin genelleştirilmiş bir versiyonunu sunuyoruz ve bu politopları belirlemek için bir karar algoritması kullanmayı öneriyoruz. PMF'i, PMF'e uygun politoplar üzerinde özel bir doğrusal işlem sınıfını düşünerek genişletiyoruz. PMF'i Bounded Matrix Factorization olarak daha da genişletiyoruz ve politoplara atıfta bulunarak bazı sınırlı kümelerin tanımlanabilirlik sonuçlarını sağlıyoruz. Ayrıca bir PMF algoritması ve PMF'i veri ayrıştırma aracı olarak kullanan ilginç örnekler sunuyoruz. PMF, gizli vektörleri karakterize etmede sonsuz sayıda politop ve sınırlı seti seçenek olarak kullanmamızı sağlıyor. Bu nedenle, alt vektör düzeyinde negatif olmama, seyreklik ve benzeri nitelikler gibi gizli vektörler için farklı varsayılan yapılar ve ilişkiler tanımlamak mümkündür. Özetle, gizli vektörlerin yapısal varsayımları açısından yüksek derecede esneklik sağlayan yeni bir veri ayrıştırma aracı sunuyoruz ve bu esnekliği PMF'e uygun farklı setler ve bu setlere karşılık gelen nitelikler ile anlatan örnekler sunuyoruz.