Quasi-kuaterniyonların involüsyonlarının geometrisi

Dört bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde kuaterniyonların tarihi gelişimine, ikinci bölümünde ise reel ve quasi-kuaterniyonlara ilişkin temel tanım ve cebirsel özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümünde, quasi-kuaterniyonlar kullanılarak involüsyon ve anti-involüsyon aksiyomlarını birlikte sağlayan iki farklı dönüşüm tanımlanmış ve bu dönüşümlerin 3-boyutlu Öklid uzayı R^3 teki geometrik yorumlarına yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde bu dönüşümlere karşılık gelen matrisler elde edilmiştir. Son bölümde ise çalışma sonucu elde edilen sonuç ve önerilere yer verilmiştir. Quasi-kuaterniyonların en ayırt edici özelliği, çarpma işleminin değişmeli (komütatif) olmasıdır. Bu özelliği sayesinde quasi-kuaterniyonlar reel sayılar cismi üzerinde değişmeli yapıya sahip bir cebir oluşturmakta ve tanımladığımız iki dönüşüm involüsyon ve anti-involüsyon aksiyomlarını birlikte sağlamaktadır. Quasi-kuaterniyonlar üzerinde tanımladığımız iki dönüşümün her birinde biri keyfi diğeri ise birim olmak üzere iki quasi-kuaterniyon kullanılmıştır. Her iki dönüşüm sonucunda keyfi quasi-kuaterniyonların skaler kısımları 4-boyutlu Öklid uzayı R^4 te sabit (invaryant) kalmakta, ancak vektörel kısımları dönüşümlere göre farklılık göstermektedir. Ele aldığımız birinci dönüşümde vektörel kısım R^3 te orjine göre yansımakta, diğerinde ise sabit kalmaktadır. Dolayısıyla, ikinci durumda keyfi olarak seçilen quasi-kuaterniyonun tamamı dönüşüm sonucunda R^4 te sabit kalmaktadır.