Rankin-Cohen operatörleri ve uygulamaları

Modüler formlar Matematik'in birçok dalını bir araya getirmesi, uygulamalarının Fizik'e kadar uzanması nedeniyle yüzyılı aşan süredir popülerliğini kaybetmemiştir ve halen yaygın olarak çalışılmaktadır. Bu çalışmada modüler formların Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi ile Sayılar Teorisi'nin ara kesitinde kalan Rankin-Cohen operatörleri (parantezi) konusu çalışılmıştır. 7 bölüm ve bir ekten oluşan bu tezin ilk bölümü ön bilgilere ve ileride kullanılacak olan kavramların tanıtılmasına ayrılmıştır. İkinci bölümde modüler formlar üzerinde tanımlı diferansiyel operatörler verilmiş olup üçüncü bölümde tezin ana kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezi kavramı tanıtılmış ve temel özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde Rankin-Cohen parantezlerinin modüler formlar üzerinde tanımlı Petersson iç çarpımı ile olan ilişkisi ele alınmıştır. Beşinci bölümde Choie ve Lee tarafından 2011'de yayımlanan bir makale incelenmiştir. Altıncı bölümde Lanphier ve Takloo-Bighash tarafından verilen Rankin-Cohen parantezleri ile ilgili ilginç bir sonuç verilecektir. Yedinci ve tezin orijinal kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezinin bir uygulaması olarak Kohnen plus uzayında yer alan yarım tam sayı ağırlıklı iki Hecke eigenform, Eisenstein serisi ve klasik teta serisinin birinci mertebeden Rankin-Cohen parantezi cinsinden ifade edilmiştir. Tezde ek olarak Pari-GP yazılımında mf-paketinde yer alan Rankin-Cohen parantezini de kapsayan bazı hesaplamaların ekran görüntüleri yer almaktadır.