On the Picard group of real quadratic number fields

Bir sayı cisminin sınıf sayısını hesaplamak her zaman sayılar kuramının başlıca problemlerinden biri olmuştur. Bu amaç doğrultusunda şu ana kadar birçok algoritma ortaya atılmıştır ve bu algoritmaların temelini oluşturan hesapların bir Arakelov sınıf grubu (veya Picard grubu) içerisinde görülebileceği fark edilmiştir. Bu tezde ilk olarak, bir cebirsel eğrinin Picard grubuna analog olan, K sayı cisminin yönlü Arakelov sınıf grubunu inşa edeceğiz ve bunu $\widetilde{\pic^0(K)}$ ile göstereceğiz. Bu inşa için öncelikle K sayı cisminin yönlü Arakelov bölenlerini ve bu bölenlerin dereceleri ile bölenlere karşılık gelen ikilileri tanıtacağız. Sonrasında, $\widetilde{\pic^0(K)}$ grubunun K cisminin dar sınıf grubunun, $\cl^+(K)$, reel bir Lie grubuyla genişlemesi olduğunu gözlemleyeceğiz. Ardından, diskriminantı sabit tutarak katsayıları tamsayı olan primitif belirsiz ikili kuadratik formlara odaklanacağız ve $\gl_2(\Z)$ grubunun bu formlara etkisini tanımlayacağız. Tamsayı katsayılı, primitif olmanın ve diskriminantın bu etki altında değişmediğini fark edeceğiz. Bu iki temel konsepti bağlantılamak için, dikkatimizi son olarak reel kuadratik sayı cisimlerine vereceğiz. K sayı cismi reel kuadratik olduğunda $\cl^+(K)$ ve tamsayı katsayılı kuadratik formların denklik sınıflarından oluşan küme arasında birebir ve örten bir ilişki kuracağız ve $\widetilde{\pic^0(K)}$ grubunu belirsiz ikili kuadratik formların dilinde ifade edeceğiz.