Monge potensiyellerinin düzenliliği and yoz pazarda riskten korunma

Bu tez, Wiener uzayında kütle taşıma ve yoz pazarda riskten korunma portföyü problemlerini çalışmayı kapsamaktadır. Tezin ilk bölümünde, başlangıç ölçümünün logaritmik içbükey olduğu ve hedef ölçümünün bir pozitif yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğu varsayımı altında, geri Monge potansiyelinin Sobolev düzenliliği tartışılmış ve bahsedilen potansiyelin ikinci mertebeden türeve sahip Sobolev uzayının elemanı olduğu gösterilmiştir. Bu sonuç dayanarak, geri Monge potansiyelinin Monge-Ampère denklemini çözdüğü gösterilmiştir. Ayrıca, logaritmik içbükey varsayımından daha zayıf bir varsayım altında, ileri Monge potansiyelinin Monge-Ampère denkleminin Alexandrov çözümü olduğu ispatlanmıştır. Tezin ikinci bölümünün hedefi, hisse bedelinin tekil oynaklık matrisine sahip bir stokastik diferansiyel denklem ile modellendiği pazarda riskten korunma portföyü bulmaktır. Bu çalışmanın temel matematik gereçleri martingal gösterim teoremi ve yakın zamanda ortaya atılan yoz yayılım sürecinin fonksiyonelleri için Malliavin kalkülüsüdür. Sözü geçen bu gelişmelerden, eşdeğer martingal ölçümü altında Itô-Clark türü gösterim teoremini ispatlamak için yararlanılmıştır. Sonuç olarak, riskten korunma portföyü bir denklem sisteminin çözümü olarak elde edilmiştir. Martingal gösteriminin özü olan izdüşüm fikri sayesinde tek çözüm bulunmuştur. Bulunan bu sonuç, getiri fonksiyonu hissenin zaman ufkundaki tüm değerlerine bağlı olan egzotik opsiyonlara uygulanmıştır.