Symplectic geometry and hamiltonian Monte Carlo method

Hamilton Monte Carlo (HMC) yöntemi, Öklidyen olmayan bir geometrinin ters-çözüm problemlerine uygulanmasıdır; Hamilton dinamiğine dayanan olasılıksal bir örnekleme yöntemidir. HMC algoritmasının temel avantajlarından biri, diğer Monte Carlo Markov Zinciri yöntemlerine göre daha yüksek bir kabul oranı sahip ve bağımsız örnekler çizmesidir. Daha yüksek bir kabul oranının nasıl elde edildiğini anlamak için, simplektik geometri ışığında HMC metodunu inceledim. Hamilton dinamiği, dejenere olmayan ve kapalı bir diferansiyel 2-forma (simplektik form) sahip olan faz uzayında (kotanjant demeti) tanımlanır. Hamilton fonksiyonu, gözlemlenen data ile tahmini data arasındaki fark toplamına ve genelleştirilmiş momentumun karesine karşılık gelir ve faz uzayında tanımlıdır. Simplektik formun dejenere olmama özelliğini kullanarak, Hamilton fonksiyonunun vektör alanının integral eğrileri boyunca değişmez olduğu bir vektör alanı bulunabilir. Hamilton fonksiyonunun değişmezliği, ayrıntılı denge özelliğini sağlamak için kabul-red testi uyguladığımız yüksek kabul oranı ile sonuçlanır. Tezimde, önce simplektik geometrideki bazı temel kavramları ve teoremleri tanımlayacağız, ardından simplektik geometri ile HMC arasındaki ilişkiyi yani Hamilton dinamiğini anlatacağım. Son olarak, bir 2D tomografi problemi için HMC algoritmasının uygulanışını göstereceğim ve ayar parametrelerini analiz edeceğim.