Stokastik diferansiyel denklemler için çözümlerin sınırlılığını koruyan nümerik metotların incelenmesi

Stokastik Diferansiyel Denklemler, içerdikleri gürültü teriminden kaynaklı olarak deterministik diferansiyel denklemlerden ayrı bir kategoride incelenirler. Stokastik diferansiyel denklemlerin katsayı fonksiyonları global Lipschitz koşulunu sağladıklarında ve lineer büyümeye sahip olduklarında tam çözümleri ve açık Euler-Maruyama metodu ile türetilen nümerik çözümleri sonlu momentlere sahiptir. Fakat bu koşullar gevşetildiğinde tam çözüm sonlu momentlere sahip olmasına rağmen açık Euler Maruyama metodu ile türetilen nümerik çözümlerin sonlu zamanda sınırsız büyüdüğü 2011 yılında Hutzenthaler vd. tarafından kanıtlanmıştır. İlerleyen yıllarda global Lipschitz koşulunu sağlamayan stokastik diferansiyel denklemler için kuvvetli yakınsamayı garanti eden açık Euler-Maruyama metotlarının oluşturulması ve analiz edilmesi stokastik nümerik analizin güncel problemlerinden birisi olmuştur. Bu tez çalışmasında önbilgiler verildikten sonra, açık Euler Maruyama metodunun hangi koşullar altında ıraksak çözümler türettiği ifade edilmiş ve bu sonuç nümerik olarak doğrulanmıştır. Söz konusu koşullar altında da kuvvetli yakınsak olan tamed, izdüşümsel ve kesmeli Euler Maruyama metotları tanıtılmış ve tamed Euler-Maruyama metodunun detaylı yakınsaklık analizi incelenmiştir. Ayrıca bu metotların nümerik performansları da çeşitli stokastik diferansiyel denklemler üzerinden test edilmiştir.