Quantum mechanics of a single photon

Tek bir fotona ait birinci kuantizasyon kuramı, kuantum mekaniğinin ilk ortaya çıktığı zamanlardan beri her zaman ilgi konusu olmuştur. Bir çok başarı ve kazanımlara ragmen tek bir fotonun kuantum mekaniğine ait sistematik bir yaklaşım henüz oluşturulamamıştır. Gerçekte ise bu alanda, koordinat gösteriminde iyi tanımlı bir dalga fonksiyonunun oluşturulması, pozitif tanımlı bir olasılık yoğunluğunun bulunması, bir konum operatörü ve tek bir fotonun localize edilebilirliği dahil olmak üzere hala bazı temel tartışmalar ve problemler mevcuttur. Bu tezde, foton alanlarının sistematik kuantum mekaniksel bir yaklaşımını ele alarak bu problemlere değineceğiz. Foton alanlarının fiziksel uzay çözümlerini oluşturabilmek için İlk önce Maxwell alanlarının dinamik denklemlerini kullanacağız. Daha sonra, foton alanlarına ait uzayda Kabul edilebilir en genel pozitif tanımlı iççarpımı elde edeceğiz. Bu iç çarpım üzerinde gerekli koşulların uygulanması sadece relativistic olarak değişmez yapmakla kalmaz aynı zamanda foton alanlarının kuantum mekaniğinde gerçek bir Hilbert uzayı tanımlamak için kullanılabilecek olan Lorentz değişmezi iç çarpımlarının üç parametreli familyasını da ortaya koyar. Üniter kuantum sistemini, zaman öteleme üretecinin Hamiltonian olarak belirlenmesi ile türetebiliriz. Bunun ötesinde bu bize Hilbert uzayının pozitif frekans alanlarına sınırlandırılmasının sonucu olmayan tek bir fotona ait kuantum mekaniğini gösterir. Daha sonra, bu sistemin genelleştirilmiş eşlik (P), genelleştirilmiş zaman (T) ve genelleştirilmiş yük veya kiralite (C) operatörlerini elde ederek PT-, C- ve CPT simetrilerinin fiziksel yorumlarını sunacağız. Relativistik olarak değişmez pozitif tanımlı iç çarpıma karşılık gelen bir akım yoğunluğu tanımlayarak bunun hem korunduğunu hem de açıkça eşdeğişken olduğunu gözlemleyeceğiz. Foton alanlarının fiziksel Hilbert uzayına ait gözlenebilirler ve dalga fonksiyonlarının matematiksel formalizmini oluşturacağız. Foton dalga fonksiyonunu belirleyerek bunun hem fotonun iyi bilinen dalga fonksiyonu olan Landau-Peierls'in genelleştirilmesine eşit olduğunu hem de Riemann-Silberstein karmaşık vektörünü verdiğini ispatlayacağız. Sonra foton alanlarının uzaysal lokalizasyonu için pozitif tanımlı bir olasılık yoğunluğu elde ederek toplam olasılığın korunumunu inceleyeceğiz. Kütleli parçacıklar için üniter olarak Newton-Wigner-Pryce konum operatörüne eşit olan komütasyon yapan bileşenlere sahip foton konum operatörünü oluşturacağız. Bu konum operatörü, sarmallık ve kiralite operatörleri ile komütasyon yaparlar ve yayılan fotonun Berry fazına karşılık gelen ek bir terime sahip olan kütlesiz Klein-Gordon alanlarının konum operatörünü verirler. Bilindiği kadarıyla bu, tek bir fotonun birinci kuantizasyon kuramına ait ilk sistematik çalışmadır.