Cebirsel fonksiyonların karmaşık analitik davranışlarına topolojik bir yorum

Bu tez, karmaşık bir cebirsel eğriyi tanımlayan üç terimli cebirsel denklemi sağlayan cebirsel fonksiyonlar üzerinde topolojik bir sonuç elde etmeyi hedeflemektedir. Bu amaç doğrultusunda, ilk bölümde özel fonksiyonlar kavramları ve sonraki ünitelerde kullanılacak bazı temel özellikleri gözden geçirilmiştir. İkinci bölümde, daha sonraki üniteler için genel bir bakış açısı sunan Gauss hipergeometrik fonksiyonu kısaca tanıtılmıştır. Ünite üç içinde, ilk dört bölüm literatürde iyi bilinen topolojik kavramların gözden geçirilmesine ayrılmıştır. Beşinci bölümden başlayarak üç terimli cebirsel denklemin çözümlerinin Mellin-Barnes integral temsilleri elde edilmiştir. Çözümlerin bu integral temsillerinin elde edilmesinde ilk iki ünitede tanıtılan araçlar kullanılmıştır. Daha sonra, bahsi geçen cebirsel fonksiyonların, dallanma(çatallanma) noktaları etrafından dolanan döngüler boyunca analitik uzanımları incelenmiştir. Son bölümde, çözümlerin integral temsilleri yardımı ile cebirsel fonksiyonların örgü monodromisi klasik Artin örgü grubu ile ilişiği verilebilen rasyonel burulmalar cinsinden ifade edilmiştir. Yöntemimiz sayesinde cebirsel fonksiyonların örgü monodromisini Mellin-Barnes integrallerin temsil yardımını kullanarak kesin bir şekilde tarif etmektedir. Mellin-Barnes integral temsilleri sayesinde cebirsel fonksiyonların açısal hareketlerini rasyonel burulmalar cinsinden tarif edebiliyoruz. Bu sonuç, burulma tariflerini Artin örgü temsili ile ilişkilendirdikten sonra bahsi geçen cebirsel denklemin Galois grubunu elde etmemize olanak sağlamaktadır.