Serbest kleinian gruplarında boyu ikiden küçük ya da eşit loksodromikler için bir iz eşitsizliği

Γ = ⟨𝜉,𝜂⟩ tamamen loksodromik serbest bir Kleinian grup olsun. Herhangi bir 𝛾 ∈Γ ve hiperbolik 3-uzay H3 içindeki herhangi bir 𝑧 için, dist(𝑧,𝛾(𝑧)), 𝑧 ile 𝑧 nin 𝛾 altındaki görüntüsü olan 𝛾(𝑧) arasındaki hiperbolik uzaklık olsun. ℓ(𝛾) ile Γ içinde azaltılmış bir kelime olarak 𝛾 nın uzunluğunu belirtirsek, Ψ2 = {𝛾 ∈Γ : ℓ(𝛾) ≤2} olsun. İlk olarak, bu tezde,Ψ𝑐6 = {𝜙𝜓𝜙−1 : 𝜙,𝜓 ∈Ψ2} olarak tanımlanmışken herhangi bir 𝑧∈H3 için max{dist(𝑧,𝛾(𝑧)) : 𝛾 ∈Ψ𝑐6}≥3.36611... olduğu ispatlandı. İkinci olarak, |trace^2(𝜙_0)−4|+|trace^2(𝜙0𝜓0𝜙0^−1 𝜓0^−1)−2|≥13.5 olarak ifade edilen Jørgensen eşitsizliğinin bir versiyonunun bazı belirgin 𝜙0,𝜓0 ∈Ψ2 için dist(𝑧2,𝜙0𝜓0𝜙0^−1 (𝑧2)) ≤dist(𝑧1,𝜙0𝜓0𝜙0^−1(𝑧1)) ve dist(𝑧2,𝛾(𝑧2)) <3.36611... eşitsizliklerinin her 𝛾 ∈Ψ𝑐6−{𝜙0,𝜙0^−1 ,𝜓0^−1 𝜙0𝜓0,𝜓0^−1𝜙0^−1𝜓0,𝜓0𝜙0𝜓0&−1,𝜓0𝜙0^−1𝜓0^−1} için doğru olması varsayımı altında sağlanmakta olduğu gösterilmektedir. Yukarıda, 𝑧1 ve 𝑧2 sırasıyla 𝜙0 nun ekseni ile 𝜓0𝜙0𝜓0^−1 ve 𝜓0^−1𝜙0𝜓0 eksenlerini birbirine bağlayan en kısa jeodezik segmentlerin orta noktalarıdır.