Hierarchical structures in data science

Son yıllarda, veri analizinin karmaşık sistemler olarak ele alınması, kümelenme yönteminin bu konularda kilit rol oynamasına neden olmaktadır. Hiyerarşik kümelenme, veri biliminde en önemli veri analizi yöntemlerinden biri haline gelmiştir. Anlaşılır uygulaması, grafik analizi ve sonuçta ortaya çıkan hiyerarşik ağacı ile yararlı bir yöntemdir. Bu tezin amacı verilerin hiyerarşik kümelenme yapılarını metrik ve ultrametrik uzay özellikleri ve çizge kuramı yöntemlerini kullanarak ele almaktır. Bu sebeple, bu tezde, veri üzerinde yapılacak uygulamalara matematiksel bir iskelet oluşturabilmek için öncelikle metric uzaylar, normlu uzaylar ve ultrametrik uzaylar çalışılmıştır. P-sel uzaylar gibi özel öneme sahip örneklerin yanı sıra başka örnekler de çalışılmış ve adı geçen uzayların topolojik karakterizasyonları da verilmiştir. Daha sonra hiyeraşik yapılar ele alınarak kümelenme kavramının matematiksel içeriği üzerine çalışılmıştır. Veri üzerinde benzerlik ve bağlam ifadelerden nasıl bir metric ve ultrametrik uzay elde edildiği anlatılmıştır. Çizge Teorisi'nin bazı tanımlamaları sayesinde veriyi görselleştirebilme yöntemleri ifade edilmiştir ve çizge üzerinde bir optimizasyon yapılarak bize anlamlı bir çizge çıkaran Minimal Geren Ağaç yöntemi ele alınmıştır. En son olarak yapılan çalışmalar bir veri üzerine uygulanır. Üzerinde çalışılan veri $10$ tane OECD ülkesinin PISA-matematik ve PISA-okuma performanslarının $4$ yıllık bir zaman serisidir. Bu tez, tek bağla toplanabilir hiyerarşik kümelenme yöntemi ve çizge kuramsal bir yöntem olan Minimal Geren Ağaç yönteminin eşitliğinden yola çıkarak veriyi analiz etmemizi sağlamıştır. Tezden elde ettiğimiz sonuçlar sözkonusu veriden ilgili $10$ ülkedeki matematik performansları hakkında anlamlı bir sonuç çıkarmamızı sağlamaktadır.