Dual representations of quasiconvex compositions with applications to systemic risk

Birbirine bağlı bileşenleri olan bir sistemin riskini ölçmenin önemi, özellikle 2008 Ekonomik Krizi'nden sonra daha iyi anlaşılmıştır. Bilimsel yazında sistemik risk ölçüleri, genellikle bir risk ölçüsü ile finansal ağın yapısını özetleyen bir yığışma fonksiyonunun bileşkesi olarak tanımlanmaktadır. Sistemik risk ölçüleri için çifteş temsillerin var olması, onları hesaplamada ve ekonomik anlamda yorumlamada kritik bir öneme sahiptir. Bir risk ölçüsü için temel varsayımlardan birisi, çeşitlendirmenin riski azaltacağıdır. Bu özelliğin matematiksel karşılığı olarak, risk ölçülerinin tartışıldığı ilk yıllarda dışbükeylik kullanılmaktaydı. Ama son zamanlarda yarıdışbükeyliğin, çeşitliliğin daha doğru bir matematiksel karşılığı olduğu düşünülmeye başlandı. Tek bir yarıdışbükey risk ölçüsü için bilimsel yazında çifteş temsiller bulunmaktadır, bu temsillerde kullanılan çifteş fonksiyonlara ceza fonksiyonu denir. Yarıdışbükey bir risk ölçüsüyle içbükey bir yığışım fonksiyonunun bileşkesi ile yarıdışbükey sistemik risk ölçüleri elde edilir; bunlar, uygun bir rassal vektörler uzayında tanımlı, yani çokdeğişkenli, fonksiyonellerdir. Bu tezde, dışbükey sistemik risk ölçülerinden hareketle, dışbükey bileşke fonksiyonları soyut ve sonsuz boyutlu bir çerçevede çalışacağız. Bileşke fonksiyonun ceza fonksiyonunu bileşkeyi oluşturan fonksiyonların ceza fonksiyonları cinsinden hesaplayan bir formül kanıtlayacağız. Kanıtın temelinde, bilimsel yazında sıkça kullanılan enküçük-enbüyük eşitliğinin aksine, bilimsel yazında bulunan ama kullanımı standart olmayan bir enküçük-enbüyük eşitsizliği yer alacak. Tezin son kısmındaysa sonuçlarımızı sistemik risk ölçüleri için somut ve olasılıksal çerçevelerde uygulayarak çifteş temsiller elde edeceğiz. İnceleyeceğimiz sistemler arasında Eisenberg-Noe modeline göre çalışan takas sistemleri de olacak. Ayrıca çifteş temsiller için ekonomik anlamda yorumlarda bulunacağız.