Theses supervised by Prof. Dr. Erhan Pişkin
10 theses · Dicle University
Değişken üslü Sobolev uzaylarında hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi
Diferansiyel denklemler, fiziksel sistemlerin zaman içerisindeki değişimlerini modellemek için kullanılan matematiksel araçlardır ve pek çok alanda (fizik, kimya, mühendislik,…) önemli bir rol oynarlar. Evolüsyon denklemler ise zaman bağımlı süreçleri modellemek için kullanılır ve sistemlerin zamana bağlı olarak nasıl değiştiğini anlamamıza olanak tanır. Bu denklemlerin daha karmaşık formlarından biri olan değişken üslü diferansiyel denklemler, klasik diferansiyel denklemlerden farklı olarak üslerin mekâna (x) veya zamana (t) bağlı olduğu daha esnek modeller sunar. Bu modeller, daha heterojen yapılar üzerinde çalışmayı mümkün kılar ve birçok modern mühendislik ve bilimsel problemin çözümünde kullanılır. Bu bağlamda tezin ilk bölümünde mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan değişken üslü denklemlerden söz edilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, değişken üslü hiperbolik tipten denklemler üzerine yapılan önceki çalışmalar ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise, tezde kullanılacak temel tanım, lemma ve teoremler yer almıştır. Bu bölüm, sonraki teorik sonuçların anlaşılması için gerekli olan matematiksel altyapıyı oluşturur. Dördüncü bölümde, değişken üslü doğrusal olmayan Petrovsky denklemin çözümlerin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise, değişken üslü yüksek mertebeden logaritmik kaynak terimli Kirchhoff tipi denklemin çözümlerinin patlaması incelenmiştir. Altıncı bölümde, değişken üslü viskoelastik denklemin çözümlerinin global varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Yedinci bölümde, değişken üslü logaritmik kaynak terimli m-Laplacian denkleminin çözümlerinin global varlığı ve azalması incelenmiştir. Son olarak, sekizinci bölümde değişken üslü Klein-Gordon denklem sistemi incelenmiş, bu sistemin patlaması ve sayısal sonuçları sunulmuştur. İki boyutlu sayısal örnekler verilmiş ve grafikler çizilmiştir.
Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemin çözümlerinin global varlığı
Bu tezin birinci bölümünde kısmi diferansiyel denklemlerin çeşitli uygulamalarını belirttik. Ayrıca Hadamard anlamında bir diferansiyel denklemin iyi konulmuş olmasını açıkladık. Diferansiyel denklemler her zaman klasik çözüme sahip olmadığından daha geniş anlamda olan çözümden söz ettik ve zayıf çözümü dile getirdik. Zayıf çözümler, ilişkili bir integral denklemini çözen çözümlerdir. Bir evolüsyon denklemi genellikle bağımsız değişkenlerden birinin t zamanı olduğu bir kısmi diferansiyel denklem anlamına gelir. Ayrıca bu bölümde trafik ve kuantum mekaniğinden gelen bazı evolüsyon denklemlerinden söz ettik. Bu tezin ikinci bölümünde bazı parabolik denklemlerin gelişimine tarihsel bir genel bakış sunduk. Logaritmik kaynak terimli parabolik denklem ve logaritmik kaynak terimli Petrovsky parabolik denklemi üzerine araştırmacıların çalışmalarının bir listesini verdik. Her bir araştırmacının çalışmasını özetledik. Bu tezin üçüncü bölümünde kısmi diferansiyel denklemin tanımı, Aubin-Lions kompaktlık teoremi, Hilbert uzayları, dual uzay, zayıf yakınsaklık, alt yarı sürekli, Lebesgue uzayları, Hölder eşitsizliği, Minkowski eşitsizliği, Grönwall eşitsizliği, sürekli diferansiyellenebilir fonksiyon uzayları, zayıf türev, Sobolev uzayları ve gömme sonuçları gibi bazı temel kavram ve teoremleri kısa genel bir bakış ile verdik. Bunlar tezin alt yapısını anlamak için gereklidir. Ayrıca ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasından bahsedip eliptik, parabolik ve hiperbolik denklem tanımlarını ifade ettik. Son olarak tezin dördüncü bölümünde kısmi diferansiyel denklemlerin evolüsyon sistemlerinin bir örneğini ele aldık. Diferansiyel denklem sistemleri, birden fazla denklemle modellenen ve birden fazla bağımlı değişken içeren çok sayıda fiziksel durumda doğal olarak ortaya çıkar. Parabolik tipteki denklemlerin logaritmik kaynak terimleriyle çözümlerinin global varlığı olarak adlandırılan denklemimiz için yeterli koşulu verdik. Kısmi diferansiyel denklemimizin ispatında Galerkin yöntemini, Aubin-Lions kompaktlık teoremini, gömme teoremlerini ve Poincaré eşitsizliğini kullandık.
Nakao eşitsizliği ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin kararlılığı
Kısmi diferansiyel denklemler özellikle fen ve mühendislik ile ilgili alanlarda vazgeçilmez bir öneme sahiptir. Kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili 19. yüzyıldan itibaren yapılan çalışmalarda bir yandan kısmi diferansiyel denklemlerin matematiğin diğer dallarıyla ilişkisi araştırılırken diğer yandan mühendislik ve diğer uygulamalı bilimler ile olan bağlantısı ortaya konmaya çalışılmıştır. Bu nedenle bu tipten denklemlerin çalışılması sadece problemlerin teorik olarak çözümlerinin ortaya konmasını değil aynı zamanda matematiksel modellemesi yapılan birçok mühendislik, kimya, fizik vb. alanlarda ortaya çıkan problemlerin çalışılmasına da zemin hazırlamaktadır. Bu tür problemlere yaklaşımsal olarak matematiksel modeller elde etmek teorik açıdan bilimin ilerleyebilmesine fayda sağlayacaktır. Tabiattaki olayların matematiksel biçimde ifade edilebilmesi, anlaşılması ve yorumlanabilmesi için öne sürülen modeller genel olarak lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere dayanmaktadır. Kısmi diferansiyel denklemlerden lineer olmayanların açık çözümü her zaman bulunamayabilir. Şu an için çözümü elde edilemeyen lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerde yaklaşık olarak bir çözüm bulmak ya da çözümün davranışıyla ilgili bir fikre sahip olmak için denklemin bazı şartlar ile sınırlandırılması gerekliliği ortaya çıkmıştır. Bu problemlerde tam olarak çözüm bulunamasa da hangi koşullar altında ve hangi zamanda çözümün var olup olmadığının araştırılması matematikte önemli bir çalışma alanı oluşturmaktadır. Bu tezin ilk bölümünde kısmi türevli denklemler ve türleri ile mühendislik, tıp, fizik, kimya vb. bilimlerde karşımıza çıkan evolüsyon denklemlere değinilmiştir. İkinci bölümde hiperbolik tipten p-Laplacian ve p-Biharmonik denklemleri ile ilgili önceki çalışmalar ele alınmıştır. Üçüncü bölümde ön bilgiler olarak tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem ve eşitsizliklere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde doğrusal olmayan hiperbolik tipten p-Biharmonik denkleminin çözümlerinin global varlığına ve çözümün enerji azalması çalışılmıştır. Beşinci bölümde sonuçlar ve önerilere yer verilmiştir.
Komornik eşitsizliği ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin kararlılığı
19. ve 20. yüzyıllarda kısmi diferansiyel denklemler üzerine yapılan araştırmalar, bu denklemlerin matematiğin diğer dallarıyla ve mühendislik gibi uygulamalı bilimlerle olan ilişkisini ortaya koymayı amaçlamıştır. Kısmi diferansiyel denklemler sadece teorik problemlerin çözümlerini sağlamakla kalmamış, aynı zamanda mühendislik, kimya ve fizik gibi alanlarda karşılaşılan olayların matematiksel modellemelerine de zemin hazırlamıştır. Doğadaki olaylar matematiksel problemler olarak karşımıza çıkmaktadır ve bu problemlerin çözümü için matematiksel modeller oluşturmak bilimin teorik gelişimine katkıda bulunmaktadır. Bu modeller genellikle lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere dayanmaktadır ve bu tür denklemler her zaman açık bir çözüme sahip olmayabilir. Çözümü bulunamayan lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerde, yaklaşık çözümler bulmak veya çözümün davranışını anlamak için denklemler belirli şartlarla sınırlandırılmalıdır. Bu bağlamda, denklemlerin hangi şartlar altında çözüme sahip olup olmadığının araştırılması, matematikte önemli bir çalışma alanı haline gelmiştir. Bu tezin ilk bölümünde, diferansiyel denklemlerin tanımı, elde ediliş yöntemleri; kısmi türevli denklemlerin tanımı, kısmi diferansiyel denklemlerin diğer uygulamalı bilimlerle ile olan ilişkisi, kısmi diferansiyel denklemler için verilen bir problemin çözümü, varlığı, tekliği, kararlılığı ile ilgili bilgiler verilmiş ve son olarak da evolüsyon denklemleri özetlenmiştir. Bu tezin ikinci bölümünde parabolik tipteki Kirchhoff tipi denklemler ile ilgili yapılan çalışmalar ve bu çalışmaların tarihsel gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümde ise tez boyunca kullanılacak temel tanımlar, lemmalar, teoremler ve eşitsizlikler sunulmuştur. Dördüncü bölümde, yüksek mertebeden parabolik bir denklemin çözümlerinin global varlığı ve enerji azalması incelenmiştir. Bu çalışmalar, matematiksel teorinin uygulanabilirliğini ve mühendislik ile fen bilimlerindeki pratik problemlerin çözümüne katkılarını göstermektedir. Özellikle, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözüm davranışlarını anlamak için yapılan bu tür çalışmalar, teorik ve pratik açıdan büyük önem taşımaktadır. Anahtar Kelimeler: Kirchhoff tipi reaksiyon-difüzyon denklemi, Global varlık, Enerji azalması, Komornik eşitsizliği
Qualitative analysis of the solutions of a high-order partial differential equation
The higher-order partial differential equations play a significant role in the development of mathematical physics and engineering. These equations are prevalent in various fields such as materials science, fluid dynamics, and wave propagation. The study of these equations began in the 18th century with the works of the Bernoulli brothers and Euler on vibrating strings and beams. Subsequent mathematicians have made significant contributions to the applications of these equations in fluid mechanics and wave theory. Modern research focuses on the applications of high-order partial differential equations in areas such as viscoelastic and smart materials. Understanding and solving these equations is critically important both from a theoretical mathematics perspective and for engineering applications. The primary aim of this thesis is to examine the existence and blow-up of solutions for a high-order partial differential equation with appropriate initial and boundary conditions. Previous studies have investigated similar problems, focusing on the global existence, uniqueness, and stability of solutions. This work addresses a high-order partial differential equation and generalizes blow-up conditions using the method of generalized concavity. In the first chapter of the thesis, the definition of high-order partial differential equations emerging in applied sciences and engineering fields is briefly introduced, along with the concepts of global existence and blow-up of solutions, illustrated using a simple ordinary differential equation example. The second chapter reviews the historical development of research conducted on high-order partial differential equations up to the present day. The third chapter provides information on fundamental definitions, lemmas, theorems, necessary function spaces, and inequalities that will be used throughout the thesis. The fourth chapter forms the core of the thesis, where the global existence of weak solutions to the given initial-boundary value problem is investigated, along with the conditions leading to blow-up. The fifth chapter concludes the thesis with results and offers suggestions for future studies.
Değişken katsayılı evolüsyon denklemlerin çözümlerinin davranışı
Evrendeki olayları anlamak için kısmi türevli denklemler oldukça önemli araçlardır. Örneğin; bir keman telinin titreşimi, ses dalgaları, bir çubuktaki ısı iletimi...gibi bir çok olay kısmi türevli denklem olarak modellenmektedir. Kısmi diferansiyel denklemlerde bağımsız değişkenlerden biri zaman (t) olan denklemlere evolüsyon denklemler denir. Evolüsyon denklemler zamanla değişen fiziksel sistemleri modellemek için kullanılan diferansiyel denklemler sınıfıdır. Bu denklemler, matematiğin yanı sıra fizik, mekanik ve malzeme bilimi gibi diğer disiplinlerde de büyük önem taşır. Ayrıca gerçek hayatta birçok fiziksel süreç, ortam koşullarının zamana veya konuma bağlı olarak değişim göstermesi nedeniyle sabit katsayılı matematiksel modellerle tam olarak ifade edilemez. Bu gibi durumlarda değişken katsayılı diferansiyel denklemler kullanılarak daha gerçekçi modellemeler yapılabilir. Örneğin, ısı iletimi, dalga yayılımı, difüzyon ve akışkanlar dinamiği gibi birçok alanda, ortamın sıcaklık, yoğunluk veya elastikiyet gibi özellikleri zaman veya mekân içinde değişkenlik gösterir. Böyle sistemlerin analizinde değişken katsayılı denklemler kaçınılmaz bir ihtiyaç haline gelir. Bu bağlamda tezin ilk bölümünde diferansiyel denklem teorisine, mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan evolüsyon denklemlere ve çözümlerin davranışına kısaca değinilmiştir. İkinci bölümünde tezde geçen denklemlerin fiziksel anlamları ve bu denklemler ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem, eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir. Ayrıca çözümlerin varlığı, azalması ve patlaması ile ilgili lemmalar verilmiştir. Dördüncü bölümünde değişken katsayılı güçlü sönüm terimli dalga denkleminin çözümlerinin patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümünde doğrusal olmayan sönüm ve kaynak terime sahip ağırlıklı m-biharmonik denklemin çözümlerinin varlığı, azalması ve patlaması çalışılmıştır. Altıncı bölümünde tekil potansiyele sahip yüksek mertebeden bir reaksiyon difüzyon denkleminin çözümlerinin global varlığı ve patlama zamanı için üst ve alt sınır çalışılmıştır. Yedinci bölümünde değişken katsayılı gecikme terimli Petrovsky denklemi için çözümlerin azalması çalışılmıştır.
Değişken üslü sobolev uzaylarında parabolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi
Bu tez, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik tipli denklemlerin çözümlerinin analizi üzerine odaklanmaktadır. Değişken üslü kısmi diferansiyel denklemler, sabit üslü diferansiyel denklemlere kıyasla fiziksel olayların modellenmesinde daha gelişmiş bir yaklaşım sunar. Bu nedenle, değişken üsse sahip parabolik denklemleri matematiksel olarak modellemeye yönelik son zamanlarda önemli bir ilgi ortaya çıkmıştır. Örneğin, elektro-reolojik sıvıların davranışını modellemek, bir elektrik alanına karşı sıvının viskozitesinin nasıl tepki verdiğini anlamaya yardımcı olur. Benzer şekilde, sıcaklığa bağlı viskoziteye sahip sıvıların modellenmesi, bilim ve mühendislik uygulamaları için oldukça önemlidir. Gözenekli ortamda filtrasyon süreçlerini incelemek, yeraltı suyu hareketini, kirlilik taşınımını ve petrokimyasal üretim süreçlerini anlamaya katkıda bulunur. Değişken üsse sahip denklemler, görüntü işleme alanında da önemli bir etki yaratmış olup, daha verimli görüntü iyileştirme tekniklerini mümkün kılmıştır. Evolüsyon denklemler, bir sistemin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlar ve fizik, biyoloji, kimya ve ekonomi gibi çeşitli bilimsel disiplinlerde yaygın olarak kullanılır. Tezin ilk bölümünde, değişken üslü parabolik tipten evolüsyon denklemlerinin tarihsel gelişimi ve uygulamalı bilimlerdeki önemi ele alınmıştır. İkinci bölümde, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik denklemler üzerine yapılan önceki çalışmaların literatür taraması sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tez boyunca kullanılacak temel tanımlar, lemmalar, teoremler ve eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde, değişken üslü m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise, değişken üslü parabolik tipten Kirchhoff denkleminin çözümlerinin varlığı ve azalması incelenmiştir. Altıncı bölümde, değişken üslü doğrusal olmayan logaritmik kaynak terimli bir parabolik denklemin çözümlerinin varlığı ve patlaması gösterilmiştir. Son olarak yedinci bölümde, logaritmik kaynak terimli viskoelastik m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Sonuç bölümünde ise, yapılan analizlerin genel bir değerlendirmesi yapılarak, elde edilen bulguların literatüre katkıları ve gelecekteki araştırmalar için potansiyel çalışma alanları tartışılmıştır.
Bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin niteliksel analizi
Bu çalışmada, logaritmik kaynak terimi içeren hiperbolik tipten bir kısmi diferansiyel denklemin çözümlerinin davranışı incelenmiştir. Özellikle, başlangıç koşulları yeterince büyük seçildiğinde çözümün zamana bağlı olarak üstel büyüme gösterdiği ispatlanmıştır. Enerji yöntemleri ve uygun test fonksiyonları kullanılarak, çözümün belirli normlarda alt ve üst sınırları elde edilmiştir. Bu sonuçlar, logaritmik kaynağın, denklemin dinamiğinde belirleyici bir rol oynadığını ve klasik polinomsal kaynak terimlerinden farklı olarak çözümlerde hızlı büyümeye neden olabileceğini göstermektedir. Elde edilen bulgular, ilgili denklemin matematiksel yapısına dair daha derin bir anlayış sunmakta ve benzer nitelikteki denklemler için genelleştirilebilir sonuçların kapısını aralamaktadır. Tezin ikinci bölümünde literatür bilgisi verilmiştir. Üçüncü bölümünde ise tezimizin sonraki kısımlarında kullanılacak olan bazı önemli tanım, teorem, lemma, eşitsizlik ve metodlar verilmiştir. Dördüncü bölümde tezin esas bölümünü oluşturan problem tanıtılmış ve bu problemin çözümlerinin varlığı ve patlaması potansiyel kuyu metodu ile çalışılmıştır. Potansiyel kuyu metodu, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını ve patlama durumunu analiz etmek için güçlü bir araçtır. Bu yöntem, sistemin enerjisini ve potansiyel kuyularını analiz ederek çözümlerin zaman içindeki davranışlarını öngörmeye yardımcı olur. Bu analiz, özellikle çözümün kararlılığını ve patlama durumunu anlamak için önemlidir. Yüksek mertebeden hiperbolik tipteki denklemlerin çözümlerinin varlığı potansiyel kuyu metodu ile incelenmesi dolayısıyla, bu çalışma evolüsyon denklemlerin daha geniş bir çerçeve içinde önemini ve uygulamalarını derinlemesine araştırmayı amaçlamaktadır. Tezin beşinci bölümünde logaritmik kaynak terim içeren yüksek mertebeden hiperbolik tipten bir denklemin çözümlerinin büyüme kestirimi yardımıyla patlaması incelenmiştir.
Solutions of evolution equations with the semigroup theory
In the first part of this thesis, the physical meanings of Lamé equation, delayed equations and equations containing logarithmic source terms are given. In addition, the historical process of delayed differential equations is mentioned. Some emerging models of delayed differential equations are also given. In the second part, the purpose of the thesis is stated and the areas where the equations with delayed terms are used in general are given. These fields have emerged in fields such as optics, nuclear physics, quantum mechanics, and geophysics in general. Then, basic studies on problems with delayed terms are given. Here, firstly, the problem that Kafini worked on in 2021 is given, and then Taouaf et al.'s work in 2018 is given. The third part consists of five parts. Firstly, the definition of Lebesgue space is given in the first part. In the second part, the definition of Sobolev space and the Sobolev Embedding theorem are given. In the third part, the Young, Hölder, Sobolev and Sobolev-Poincare inequalities required throughout the thesis are included. In the fourth part, Fourier Series and Parseval Identity are expressed. In the fifth part, there are definitions, lemmas and theorems related to the Semigroup Method. The fourth chapter is the main part of the thesis and consists of three subsections related to the Logarithmic Source Term Lamé System. In the first part, the goodness of our equation with logarithmic source term, which includes a delayed term, is studied. Here, first of all, the existence and uniqueness of the problem is proved by semigroup method by arranging the delayed equation with the help of a transformation. In the second part, its global presence is shown with the potential depth method. In this section, the proof of global existence is found with the help of potential depth method. In the third chapter, the exponential reduction of the equation is studied. The exponential decrease studied in this chapter has been proved by the theorems and lemmas given in the thesis. In the fifth chapter, the conclusion and suggestions of the thesis are given.
Solutions of evolution equations with logarithmic source term
In the first part of this thesis, the definition and historical process of the differential equation that emerged in applied sciences such as science and engineering are briefly mentioned. It is also mentioned that the developments in differential equations provide the emergence of new fields in mathematics and the advances in many fields in mathematics offer new perspectives for differential equations. In the second part, the purpose of the thesis is stated and the areas where the equations with logarithmic source terms are used in general are given. Then, basic studies on problems with logarithmic source terms are given. Here, first the problem that Birula and Mycielski worked on in 1976 is given, and then the work of Cazenave and Haraux in 1980 is given. After the basic problems are given, many studies carried out until today are given in this section. The third part consists of three parts. Firstly, the definition of Lebesgue space is given. In the second part, the definition of Sobolev space and the Sobolev Embedding theorem are given. In the third part, the inequalities and lemmas required throughout the thesis are included. In the fourth chapter, the Klein-Gordon equation with one-dimensional logarithmic source terms is studied. The local existence of the solutions of the logarithmic nonlinear Klein-Gordon problem is discussed. Then, the proof of the weak solution of the problem is given, and the proof consists of three steps: Approach Finding the Solution, Predictive Estimation and Passing the Limit. Here, Galerkin method, Logarithmic Sobolev Inequality and Compactness theorems are used to prove the weak solution. In addition, the Aubin Lions lemma is used in the step of Passing the Limit, which is the third step of the proof. The fifth chapter is the original part of the thesis, and the higher order Klein-Gordon equation with logarithmic source terms has been studied. First, the energy equation of our problem is found and shown, and necessary lemmas and definitions are given. Then, the theorems about the Global Existence and Exponential Decay of our problem are given and the lemmas to be used in the proof of the theorems are given together with their proofs. Finally, the Blow up of the Solution of our problem has been attempted. The blow up of our problem has been shown using the concavity method. In the sixth chapter, the conclusion and suggestions of the thesis are given.