Değişken üslü sobolev uzaylarında parabolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi

Bu tez, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik tipli denklemlerin çözümlerinin analizi üzerine odaklanmaktadır. Değişken üslü kısmi diferansiyel denklemler, sabit üslü diferansiyel denklemlere kıyasla fiziksel olayların modellenmesinde daha gelişmiş bir yaklaşım sunar. Bu nedenle, değişken üsse sahip parabolik denklemleri matematiksel olarak modellemeye yönelik son zamanlarda önemli bir ilgi ortaya çıkmıştır. Örneğin, elektro-reolojik sıvıların davranışını modellemek, bir elektrik alanına karşı sıvının viskozitesinin nasıl tepki verdiğini anlamaya yardımcı olur. Benzer şekilde, sıcaklığa bağlı viskoziteye sahip sıvıların modellenmesi, bilim ve mühendislik uygulamaları için oldukça önemlidir. Gözenekli ortamda filtrasyon süreçlerini incelemek, yeraltı suyu hareketini, kirlilik taşınımını ve petrokimyasal üretim süreçlerini anlamaya katkıda bulunur. Değişken üsse sahip denklemler, görüntü işleme alanında da önemli bir etki yaratmış olup, daha verimli görüntü iyileştirme tekniklerini mümkün kılmıştır. Evolüsyon denklemler, bir sistemin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlar ve fizik, biyoloji, kimya ve ekonomi gibi çeşitli bilimsel disiplinlerde yaygın olarak kullanılır. Tezin ilk bölümünde, değişken üslü parabolik tipten evolüsyon denklemlerinin tarihsel gelişimi ve uygulamalı bilimlerdeki önemi ele alınmıştır. İkinci bölümde, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik denklemler üzerine yapılan önceki çalışmaların literatür taraması sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tez boyunca kullanılacak temel tanımlar, lemmalar, teoremler ve eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde, değişken üslü m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise, değişken üslü parabolik tipten Kirchhoff denkleminin çözümlerinin varlığı ve azalması incelenmiştir. Altıncı bölümde, değişken üslü doğrusal olmayan logaritmik kaynak terimli bir parabolik denklemin çözümlerinin varlığı ve patlaması gösterilmiştir. Son olarak yedinci bölümde, logaritmik kaynak terimli viskoelastik m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Sonuç bölümünde ise, yapılan analizlerin genel bir değerlendirmesi yapılarak, elde edilen bulguların literatüre katkıları ve gelecekteki araştırmalar için potansiyel çalışma alanları tartışılmıştır.