4-boyutlu uzayda yönlü regle hiperyüzeyler

Bu tezin amacı 4-boyutlu Öklid uzayında quasi-çatı kullanılarak quasi-vektörleri tarafından oluşturulan regle hiperyüzeyi incelemektir. Çalışmamız 5 bölümden oluşmaktadır. İlk iki bölüm olan Giriş ve Literatür Araştırması bölümlerinde; eğriler, yüzeyler ve regle hiperyüzeyler ile Frenet ve q-çatı üzerine yapılan tarihsel çalışmalardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, diferensiyel geometride eğriler bir temel taştır, diğer temel taş ise yüzeylerdir. Eğri ve yüzey kavramının birlikte kullanıldığı yapılardan birisi ise regle yüzeylerdir. 2-boyutlu regle yüzeyler bir doğrunun bir eğri boyunca hareket ettirilmesiyle meydana gelen yüzeylerdir. Bir ortonormal baz ile gerilen 2-boyutlu alt uzay olan doğrultman uzayı verildiğinde 4-boyutlu uzayda birim hızlı olan bir eğri ile bu 2-boyutlu doğrultman uzayının eğri boyunca oluşturduğu 3-boyutlu yüzey, regle hiperyüzey olarak adlandırılır. 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatılı bir eğrinin Frenet vektörleri, Frenet türev denklemleri ve eğrinin κ, τ ve η eğrilikleri tanıtılmıştır. Ardından hiperyüzeylerin diferensiyel geometrik özelliklerini incelemek için gerekli olan kavramlara yer verilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümde, ilk olarak Frenet vektörlerinden birim olan T teğet ve N normal vektörlerinin gerdiği regle hiperyüzey ile B1 ve B2 birinci ve ikinci binormalin gerdiği düzlemler tarafından oluşturulan özel regle hiperyüzeylerin parametrik ifadesi verilmiştir. Bu regle hiperyüzeyin diferensiyel geometrik hesapları elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, 4-boyutlu Öklid uzayında doğrultman vektörü yerine sırasıyla T ve Nq olarak gösterilen birim teğet ve birim quasi-normal vektörleri ile üretilen 2-boyutlu yönlü regle hiperyüzeylerin parametrik ifadeleri ve geometrik özellikleri verilmiştir. Üstelik uygun bir uzay eğrisi için Frenet çatılı ve quasi-çatılı regle hiperyüzeyin bir parametrizasyonu ve onun geometrik özelliklerinin hesaplanmasıyla ilgili örnekler sunulmuştur. Ayrıca, 4-boyutlu uzayda verilen örneklerin anlaşılmasını kolaylaştırmak için bu regle hiperyüzeyin şekilleri 3-boyutlu izdüşüm uzaylarında grafiklendirilmiştir. Anahtar Kelimeler: Quasi-çatı, regle hiperyüzey, şekil operatörü, eğrilikler