Analiz ve sentez seyreklik için sözlük öğrenme algoritmaları ve görüntü işlemede uygulamaları

İşaret işleme alanında ses, video, metin ya da görüntü işaretinin gözlemlerini kullanarak işareti geri çatma problemi oldukça sık karşılaşılan önemli bir problemdir. Bir x işareti ve y gözlemlerine ait, doğrusal bilgi edinme modeli Ax=y şeklinde gösterilebilir. Bilindiği üzere, bir işareti gözlemlerinden kayıpsız bir şekilde geri elde edebilmek için en az işaret boyutu kadar gözlem bilgisine sahip olmak gereklidir. Bu klasik bilgiye göre işaret boyutundan daha az gözlem verisi ile işareti geri elde etmek imkansız gibi görünmektedir. Ancak bazı varsayımlar altında işaret boyutundan daha az sayıda gözlem ile işareti geri elde etmek mümkün hale gelmektedir. Bu varsayımlardan biri işaretlerin 'seyrek' olduğu varsayımıdır. Seyrek gösterilim ile bir işaret kendi boyutundan daha az sayıda katsayı kullanılarak ifade edilebilmektedir. Bu özellik sebebiyle işaretlerin seyrek gösterilimi, işaret işleme alanındaki geri çatma, sıkıştırma, görüntü ayrıştırma, gürültü azaltma, öznitelik çıkarma ve sınıflandırma gibi birçok problemin çözümünde kullanılmaktadır. İşaretlerin seyrek gösteriliminde temel olarak sentez ve analiz model olmak üzere iki model vardır. Sentez modelde işaret bir sözlük ve bir seyrek katsayı vektörü kullanılarak ifade edilir. Burada kullanılan sözlük aşırı tam bir sözlüktür ve bu sözlüğün, seyrek katsayı vektörünün sıfır olmayan elemanlarına denk düşen sütunlarının doğrusal kombinasyonu ile işaret seyrek bir şekilde gösterilmektedir. İşaretin seyrek gösterilimi için kullanılan sözlük sütunu sayısı işaretin boyutundan oldukça düşüktür. Analiz modelde ise işaretin seyrek gösterilimi, bir operatör ile seyrek gösterilimi aranan işareti çarpmak suretiyle elde edilir. Ancak son yıllarda bu modellerin yanı sıra analiz modelin genelleştirilmiş hali olan seyrekleştirici dönüşüm modeli de oldukça verimli bir model olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu modelde analiz modeldekine benzer operatörler daha az hesapsal karmaşıklık ile elde edilebilmektedir. Bu yüksek lisans tez çalışmasında işaretlerin seyrek gösteriliminde kullanılan modeller ve özellikle bu modellerdeki temel problemler olan sözlük öğrenme, operatör öğrenme ve seyrekleştirici dönüşüm öğrenme problemleri incelenmiştir. Bu problemlerin çözümü için sunulan çeşitli algoritmalar MATLAB ortamında gerçeklenmiştir. Ayrıca analiz modelinin ve seyrekleştirici dönüşüm modelinin avantajlarını bir araya getiren yeni bir seyrekleştirici dönüşüm operatörü öğrenme algoritması tanıtılmıştır. Bu tanıtılan algoritma ile analiz modelinin en yaygın bilinen algoritması görüntü gürültüsü giderme uygulaması ile karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırmaya ilişkin sonuçlar da tez çalışmasında verilmiştir.