Diferansiyel denklemlerin monte carlo metodları ile çözümü

Bu tez çalışmasında, diferansiyel denklemlerin sayısal olarak çözümünde Monte Carlo metotlarının etkinliği araştırılmış ve bu yöntemlerin çeşitli türdeki diferansiyel denklemlere uygulanabilirliği detaylı bir şekilde incelenmiştir. Özellikle singüler, singüler pertürbasyonlu, gecikmeli ve Volterra tipindeki integro-diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri ele alınmıştır. Çalışmanın temel yaklaşımı, diferansiyel denklemlerin integral denklemlere dönüştürülmesi ve bu yeni formülasyonların Monte Carlo metotları kullanılarak çözümlenmesidir. Tezdeki bazı örnekler diğer integral metotları ile de çözülmüş ve karşılaştırmalar yapılmıştır. Monte Carlo metotları, çözüm uzayında rastgele örnekleme yaparak yaklaşık çözümler elde etmeye olanak tanıyan istatistiksel yaklaşımlardır. Bu çalışmada, klasik deterministik nümerik yöntemlerin yetersiz kaldığı veya çözümünün zorlaştığı durumlarda, Monte Carlo metotlarının sağladığı esneklik ve güçlü yaklaşım yetenekleri vurgulanmıştır. Rassal sayılar kullanılarak integral ifadelerin yaklaşık değerleri hesaplanmış, bu sayede ilgili diferansiyel denklemlerin çözümlerine ulaşılmıştır. Tez kapsamında ilk olarak Monte Carlo metodunun teorik temelleri sunulmuş, rassal sayı üretimi ve örnekleme teknikleri detaylandırılmıştır. Ardından, farklı tipteki diferansiyel denklemler için integral formülasyonları elde edilerek Monte Carlo yaklaşımıyla çözümleri gerçekleştirilmiştir. İntegral denklemler üzerinden yapılan uygulamalar, Monte Carlo yönteminin geniş kapsamlı kullanım potansiyelini göstermektedir.