Konveks düzlem eğrilerinin evolüsyonu için hiperbolik teori

Bu tez çalışması 8 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, düzlemsel eğrilerinin hiperbolik evolüsyon problemi tanımlandı.İkinci bölümde, eğrilerin lokal teorileri, eğriliğin farklı şekillerdeki tanımları ve uzay eğrilerinin Frenet-Serre denklemleri verildi ve eğriler teorisinin temel teoremi ifade edildi. Bu bölümün ikinci kısmında ise düzlemsel bir eğrinin zamana göre hareketi incelenerek evolüsyon denklemleri elde edildi.Üçüncü bölümde, genel bir düzlem eğrisinin eğriliği, uzunluğu ve sınırladığı alanın evolüsyon denklemleri elde edildi ve bulunan denklemlerin eğrinin zamana göre hız vektörünün teğetsel bileşeninden bağımsız olduğu gösterildi.Dördüncü bölümde başlangıç eğrisi konveks olan evolüsyon eğrisinin evulüsyon sürecince konveksliğini koruduğu ve evolüsyonun nihai şeklinin Hausdorff metriğine göre bir çember olduğu gösterildi. Beşinci bölümde normal evolüsyon tanımlanarak parametre değişimi altında normal evolüsyonun korunduğu gösterildi ve hiperbolik Monge-Ampere denklemi elde edildi.Altıncı bölümde normal hiperbolik eğri akışı bir örnekle ele alınarak sonlu bir zaman sonunda eğrinin bir noktaya indirgendiği kanıtlandı. Bu bölümde tezdeki iddiamızı destekleyen bazı önemli sonuçlara da yer verildi.Yedinci bölümde Minkowski uzayında hiperbolik eğrilik akışı ile dizisel evolüsyon denklemi arasındaki bağıntılar incelenerek bir dizinin hareketinin genel normal hiperbolik ortalama eğriliğin akışına ait bir uygulama olduğu gösterildi.Sekizinci ve son bölüm ise Örnek 6.1 ve diğer bölümlerde ele alınan teoremlerin sonucu olarak tezin esasını oluşturan Teorem 1.1 in ispatını ve genel bir değerlendirmeyi içermektedir.