Matematiksel fizikteki bazı problemlerin simetri grup sınıflandırmaları

Bir fonksiyonun türevleri arasındaki ya da fonksiyonun kendisi ve türevleri arasındaki ilişkiyi açık olarak belirten denkleme diferansiyel denklem denir. Diferansiyel denklemleri bağımsız değişkenlerin sayısına ve içerdikleri türevlerin türlerine göre sınıflandırabiliriz. Denklemin tek bir bağmsız değişkeni varsa denklem adi diferansiyel denklem, iki veya daha çok bağmsız değişken içeriyorsa kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellemesinde kullanılmaktadır. Doğa bilimleri ve mühendislikte önemli bir yere sahip olan ve fiziksel olayların bir modellemesi olarak elde edilen lineer olmayan diferensiyel denklemlerin integrallenebilirliği 1960'lardan beri uygulamalı matematiğin temel konularından biri olmuştur. Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin elde edilmesi her zaman mümkün olamamaktadır. Bu zorluktan dolayı öncelikli olarak bu tip denklemlerin integrallenebilirliği üzerinde çalışılmıştır. Bununla birlikte integrallenebilir lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak için bir çok yöntem geliştirilmiştir. Simetri grupları ve korunum kanunları, bu yöntemlerden bazılarıdır. Bu tezde simetri grupları kullanılarak, fizik ve matematikteki bazı önemli problemler incelenmiştir. Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerinin ve korunum kanunlarının bulunması problemi ele alınmıştır. Literatürde lineer olmayan diferansiyel denklemleri çözmek için bir çok yöntem geliştirilmiştir, simetri grupları bunlardan biridir. Öncelikle, analitik çözümlerin araştırılmasında en güçlü yöntemler arasında gösterilen Lie simetri grupları ele alınmıs¸tır. Sophus Lie, adi diferansiyel denklemler bir dönüs¸üm altında deg˘is¸mez kalırsa mertebelerinin bir derece düs¸ürülebileceg˘ini göstermis¸tir. Bu s¸ekilde, lineer olmayan diferansiyel denklemlere Lie cebrini uygulayıp denklemi deg˘is¸mez bırakarak mertebesini indirgeyip denklemin çözümünü elde edebiliriz. n. basamaktan bir diferansiyel denklemin Lie grubunu elde etmek için, bu Lie grubuna ait sonsuz küçük üreticin n. uzanımını diferansiyel denkleme uyguladıg˘ımız zaman sonuç sıfır çıkmalıdır. Bu uzanım diferansiyel denkleme uygulandıg˘ı zaman bulunan açılımdan çok belirli kısmi diferansiyel denklemler sistemi elde edilir ve bu denklemler belirleyici denklemler olarak adlandırılır. Lie grupları ile çalıs¸manın bir zorlug˘u, Lie grup teorisini uyguladıktan sonra elde edilen belirleyici denklemleri çözmektir, bu zorlug˘u as¸mak için bazı matematiksel programlar kullanılabilir, bunun için bu tezdeki problemleri incelerken Mathematica programı kullanılmıs¸tır. Bu tezde, Lie grup teorisi bazı fiziksel problemlere uygulanıp sonuçlar elde edilmis¸tir. Fakat, bazı durumlarda Lie grup teorisi yetersiz kalır. Her diferansiyel denklem Lie simetrilerine sahip olmayabilir. Bu durumda, simetrileri elde etmek ve sınıflandırmak için farklı yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden biri Noether Teoremi'dir. Noether Teoremi, Alman matematikçi Noether tarafından bulunmus¸tur. Bu teoremi uygulamak için öncelikle denklemin Lagrangian fonksiyonu elde edilir, Lagrangian fonksiyonu Euler-Lagrange denklemlerini sag˘lamalıdır. Daha sonra bu Lagrangian fonksiyonu yardımıyla denklemin ilk integralleri bulunur. Bu teorideki en önemli kısım Lagrangian fonksiyonunun belirlenmesidir. Standard Lagrangian'a sahip olmayan bir çok denklem vardır. Bu tür denklemler için kısmi Lagrangian yöntemi gelis¸tirilmis¸tir. Standart Lagrangian'a sahip olmayan denklemler için kısmi Lagrangian kullanılarak Noether simetrileri ve ilk integralleri bulunabilir. Tezin bir bölümünde kısmi Lagrangian yöntemi ele alınmıs¸tır. Bu yöntem yardımıyla standard Lagrangian fonksiyonuna sahip olmayan fiziksel bir denklem olan fin denklemi için kısmi Lagrangian fonksiyonu belirlenmis¸tir. Sonrasında Noether teoremi kullanılarak, denklemin Noether simetrileri ve ilk integralleri elde edilmis¸tir. Bu simetriler fin denkleminin ısı-sıcaklık katsayılarına göre sınıflandırılmıs¸tır. Daha sonra bu ilk integraller kullanılarak denklemin deg˘is¸mez çözümleri elde edilmis¸tir. Lie simetrisine sahip olmayan denklemlerin simetrilerini elde etmek için dig˘er bir yöntem Muriel ve Romero tarafından 2001 yılında tanımlanmıs¸tır. Yeni bir vektör alanı tanımlayarak, yeni bir uzanım formu elde etmis¸ler ve elde ettikleri simetrileri λ-simetrileri olarak adlandırmıs¸lardır. Muriel ve Romero, bu yeni teoride Lie simetrilerinden farklı olarak tanımladıkları yeni vektör alanını kullanarak elde edilen belirleyici denklemlerin çözümünü sonsuz küçük fonksiyonlar ve λ fonksiyonu cinsinden belirlemis¸lerdir. Bir diferansiyel denklemin λ -simetrileri, integrasyon çarpanları ve ilk integralleri arasında önemli bir ilis¸ki vardır. Özellikle, λ -simetrileri, Lie simetrisi olmayan lineer ve lineer olmayan denklemler için integrasyon çarpanlarının ve ilk integrallerinin bulunmasında etkili bir yöntemdir. Bu tezde ele alınan bir dig˘er önemli ilis¸ki Lie simetrilerinden λ-simetrilerinin elde edilmesidir. Daha sonrasında λ-simetrileri kullanılarak integrasyon çarpanı ve ilk integraller elde edilebilir. Bu simetrileri bulmamızı sag˘layan dig˘er bir yöntem Prelle-Singer yöntemidir. Bu yöntem, Prelle ve Singer tarafından 1993 yılında ele alınmıs¸tır ve zaman içinde Duarte yöntemi gelis¸tirmis¸tir. Prelle-Singer yönteminde R ve S fonksiyonları ile ifade edilen üç adet belirleyici denklem vardır, bu denklemler çözülerek simetriler elde edilmeye çalıs¸ılır. Muriel ve Romero 2009 yılında Prelle-Singer yöntemi ile λ-simetrileri arasında bir ilis¸ki kurmus¸lardır. Bu ilis¸kiye göre, λ-simetrisi ve µ integrasyon çarpanı olmak üzere R = µ ve S = λ es¸itlikleri elde edilir. Bu yöntem kullanılarak, bazı fiziksel denklemlerin λ -simetrileri, integrasyon çarpanları, ilk integralleri ve sırası ile çözümleri elde edilmis¸tir. Lie, λ ve Prelle Singer yöntemleri arasında önemli bir ilis¸ki söz konusudur. λ-simetrileri kullanılarak Lie simetrileri, Prelle Singer yöntemi kullanılarak öncelikle λ-simetrileri ve λ-simetrileri kullanılarak sonrasında Lie simetrileri elde edilebilir. Tezde kullanılan dig˘er bir yöntem ise lineerles¸tirmedir. Verilen denklem önce bazı fonksiyonlara gore sınıflandırılıp daha sonrasında ait oldug˘u sınıfa dair kullanılan algoritma ile farklı ilk integralleri elde edilmis¸tir. Lineeles¸tirme problemleri altında inceledig˘imiz dig˘er bir dönüs¸üm Sundman dönüs¸ümüdür. Duarte tarafından ortaya atılan bu dönüs¸üm ile lineer olmayan bir denklem lineerles¸tirilebiliniyorsa, bu denklem Muriel ve Romero tarafından S-lineerles¸tirilebilir olarak adlandırılmıs¸tır. Tezde S-dönüs¸ümleri kullanılarak ilk integrallerin ve λ-simetrilerinin nasıl bulundug˘u açıkca gösterilmiştir.