Yarı Öklid uzaylarının genelleştirilmiş sabit oran alt manifoldları

Öklid ve yarı-Öklid uzaylarındaki bir altmanifoldun geometrik özelliklerini anlamak için, üzerinde çalışılan en önemli tasvirlerden (dönüşümlerden) biri; altmanifoldun konum vektörüdür. Bu doğrultuda, 2001 yılında B. Y. Chen tarafından, Öklid uzaylarındaki sabit oran (CR) altmanifold kavramı tanıtılmı¸stır. M, E^m Öklid uzayının bir altmanifoldu ve x : M -> E^m manifoldun konum vektörü olsun. x konum vektörü, x = x^T + x? şeklinde ayrıştırılabilir. Burada x^T ve x?, sırasıyla, x konum vektörünün teğetsel (teğet) ve normal bileşenleridir. Eğer, bu iki vektörün uzunlukları oranı sabit ise, bu durumda M altmanifolduna sabit oran (CR) altmanifoldu veya eşit açılı altmanifold denir. Özel olarak karşıt boyutun bir olması durumunda, M bir CR hiperyüzeyi ise, bu durumda x konum vektörünün x^T teğet bileşeni, M hiperyüzeyinin bir asli doğrultusudur. Oysa, bu durumun tersi genelde doğru değildir. Örneğin, Y. Fu ve M. I. Munteanu E^3 Öklid uzayındaki tüm dönel yüzeylerin bu özelliği sağladığını göstermişlerdir. Fakat, bir dönel yüzeyin bir CR yüzeyi olması için, bu dönel yüzeyinin profil eğrisini özel olarak seçmek gerekir. Bu nedenden dolayı, CR yüzey kavramı genelleştirilerek genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzey kavramı, Y. Fu ve M. I. Munteaunu tarafından literatürde 2014 yılında sunulmuştur: Eğer, M yüzeyinin x konum vektörünün x^T teğet bileşeni, bu yüzeyin bir asli kanonik doğrultu ise, o zaman M yüzeyine genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyi denir. Tezde de anlatılacağı üzere, GCR yüzeyleri aynı zamanda asli kanonik doğrultuya sahip bir (CPD) yüzeylerinin, daha açık olarak, yüzeyin x konum vektörü yerine özel olarak, E^n+1 uzayındaki sabit bir k vektörünün alınmasıyla karakterize edilen yüzeylerinin bir genelleştirilmesi olarak da düşünülebilir. Yukarıdaki tanımlar göz önüne alındığında, bu tanımların hiperyüzeyler için de aynı şekilde yapılabilece˘gi kolaylıkla görülür. Di˘ger taraftan, kar¸sıt boyutun birden büyük oldu˘gu durumda ise, CPD altmanifold tanımı yapılırken, literatürde S^nxR ve H^nxR uzaylarındaki A-sınıfı daldırma tanımı kullanılmı¸stır. Bu tez çalışmasında, R. Tojiero ve B. Mendoça tarafından verilen bu tanım kullanılarak Öklid ve yarı-Öklid uzaylarının bir altmanifoldu için şu şekilde genelleştirilmiştir: Eğer o altmanifoldun konum vektörünün teğet bileşeni, tüm şekil operatörlerinin asli doğrultusu ise, bu altmanifolda GCR altmanifold denir. Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışmada, Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldları ele alınmıştır ve bu tez altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Tezin ilk iki bölümünde tezin konusu ile ilgili bazı genel bilgiler verilmiş; üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerinde ise, elde edilen orijinal sonuçlar sunulmuştur. Altıncı bölümde ise, elde edilen sonuçlar değerlendirilip, açık problemler sunulmuştur. Tezin organizasyonu şu şekildedir: Birinci bölümde; genelleştirilmiş sabit oran (GCR) altmanifoldlarının tarihçesi ve altmanifoldların geometrik özellikleri göz önüne alınarak yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. İkinci bölümde; tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde; E^4 Öklid uzayında karşıt boyut iki olan, sırasıyla, sabit açı (CAS) yüzeyleri, asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) yüzeyleri, sabit eğim (CSS) yüzeyleri ve son olarak da genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Dördüncü bölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) hiperyüzeylerinin bazı geometrik özellikler incelenerek bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar verilmiştir. Sonrasında, E^3_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan asli kanonik doğrultuya sahip (CPD) yüzeyleri için yeni bir sınıflandırma elde edilmi¸stir. Ayrıca, bu yüzeylerin minimal (maksimal) olma durumları incelenmiş ve bazı önemli karakterizasyonlar verilmiştir. Son olarak ise, lightlike sabit doğrultu ile ilişkili sabit açı (CAS) yüzeyleri için sınıflandırma verilmiştir. Beşinci bölümde; ilk olarak E^n+1_1 Minkowski uzayındaki genelleştirilmiş sabit oran (GCR) hiperyüzeylerinin bazı geometrik özellikleri incelenerek, bu bölümde kullanılacak olan önemli teorem ve sonuçlar elde edilmiştir. Sonrasında, E^4_1 Minkowski uzayında karşıt boyut bir olan genelleştirilmiş sabit oran (GCR) yüzeyleri için sınıflandırma elde edilmiştir. Son bölüm de ise; öncelikle elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve sonrasında bazı açık problemler ortaya konulmuştur.