Application de la mesure floue et de l'integral floue en aide multicritere a la decision

Özet Çok Ölçütlü Karar Verme XX. yüzyılın ikinci yarısında önemli gelişmeler gösterdi. Özellikle 1972 yılındaki, aynı zamanda bu konuya ismini de veren, Uluslararası Çok Ölçütlü Karar Verme (Multiple Criteria Decision Making, MCDM) Konferansı'ndan sonra hızlı ve önemli gelişmeler gösterdi. Örneğin çok ölçütlü fayda teorisi (Multi Attribute Utility Theory, MAUT), çok amaçlı programlama (Multi-Objective Programming) ya da bulanık küme teorisi çok ölçütlü karar vermenin klasikleri arasına girdi. Çok ölçütlü karar verme problemleri için bir çok yöntem önerildi, bir çok alternatif çözüm sunuldu. Örneğin Roy'nın önerdiği ELECTRE yöntemleri, ikili alternatiflerin karşılaştırılması ve tercih sıralaması temeline dayanırken, MAUT alternatiflerin ölçütler üzerindeki değerlerinin faydaları esasına dayanır. Bütün bu yöntemlerde ortak nokta, belli bir noktada biriktirilen faydaların tümlenmesidir. ELECTRE yöntemlerinde alternatiflerin tercih dereceleri tümlenirken, MAUT'da fayda değerleri tümlenmektedir. Geliştirilen bu yöntemlerde üzerinde durulan yenilik genelde seçim sürecinin modellenmesi olmuş, tümleme süreci ihmal edilmiştir. Günümüzde en çok kullanılan tümleme aracı, "ağırlıklı ortalama", insan değerleme yapışım iyi yansıtamayan bir yapıdadır. Gerçekte insan bulanık olayları değerlendirme durumundadır ve karar verirken, hem kullandığı yapıda ölçümler toplamsal olmamakta hem de çoğu zaman nesnelerde ölçütler bağımsız olmamaktadır. Her durumda ağırlıklı ortalama gibi doğrusal bir yöntem, toplamsallık ve bağımsızlık varsayımlarına dayandığı için uygulanamaz. Bulanık ölçümler ve bulanık entegral 1974 yılında Sugeno tarafından bulanık sistemleri ve sübjektif insan değerleme yapısını modellemek amacıyla önerildi. Sunduğu modelde, insanın bilgileri nasıl bütünlediğini, onları nasıl değerlendirdiğini ve hareketlerinde nasıl karar verdiğini taklit etmeye çalışmıştır. Bulanık ölçümler ixteorisinde, klasik ölçümlerdeki toplamsallık yerine sadece monotonluk önerilmiş ve böylece daha genel bir yapı elde edilmiştir. Bulanık ölçümler teorisi üzerine yapılan çalışmalar ilk günden beri hızla devam etmesine rağmen uygulama konusunda çalışmalar yetersiz kalmıştır. Bunun sebebi monoton ölçümlerin kullanılması ve anlaşılmasının olasılık gibi toplamsal ölçümlerle karşılaştırıldığında kolay olmamasıdır. Uygulama açısından bakıldığında, u ile gösterdiğimiz bulanık ölçümler yani monoton küme fonksiyonları, iki farklı problemi modellemek için kullanılabilir: ^° Olasılıkta sıkça yapıldığı gibi, O olay uzayındaki belirsizlik: Özellikle, bir A-A, s?° İV üzerinde verilen ölçütlerin bir kısmi sıralaması >- N, *£*. Ölçüt çiftleri arasında verilen bir kısmi sıralama >~A (etkileşim endisleri sıralaması), s?° Bazı ölçüt çiftleri arasındaki etkileşimlerin işaretleri m(ij): > 0, < 0, = 0. Toplanan tüm bu veriler, bir eşitlik ve eşitsizlikler sistemi şeklinde bilinmeyen ju katsayıları cinsinden yorumlanarak Marichal ve Roubens tarafından önerilen aşağıdaki gibi bir matematiksel programda kullanılmıştır. maxz = £ kısıtlar s > 0 (pozitif yapay değişken) CM(a)-CM(b)zS + e, ayAb ~5£, i.. > o İJ » İJ I,, = 0 aksi halde S eşiği ile A üzerinde kısmi sıralama Ölçütlerin önemlerinin sıralanması Ölçüt çiftlerinin sıralanması (etkileşimler) Bazı etkileşimlerin işaretleri 2İJ^ ı ~Lu^ i ~^ (değerler üzerindeki sınır şartı) ı=l ı=l // (Â) < fj,(B) W A ez Bez X (monotonluk şartları) Burada küme parantezleri gösterimi basitleştirmek amacıyla ihmal edilmiştir. Örneğin, /i({i}),5u{/} yerine ju(i),Sui yazılmış ya da {i,j},{i,j,k} yerine ij, ijk yazılması tercih edilmiştir. xiiiTüm bu kısıtlar, 2-toplamsal bulanık ölçümler için aşağıdaki eşitlikler göz önüne alınarak, Möbius transformasyonu m cinsinden ifade edilebilir. «=ı {yyzx I.=®.=m(i) + - 5>fe) £ ir ' jczN-i Iy=m(ij) Tablo 1. Adayların puanları Karar vericiden alman bilgiler doğrultusunda adaylar için bir tercih sırası oluşturulmuş ve en büyük değerle göre normalize edilen puanlar hesaplamalarda kullanılmıştır. Karar verici adaylar arasında yaptığı tercih sırasının yanında ölçütler ve ölçüt çiftlerinin önemleri ile ilgili ek kısıtlar getirmemiştir. Tüm bu veriler ışığında oluşturulan doğrusal program aşağıdaki verilmiştir. xivmaxz = £ kısıtlar e>0 - 0,01m(l)+ 0,03w(2)+ 0,06m(3)-0,01m(l2) + 0,02m(l3) - 0,01m(l4) + 0,06m(23) + 0,03m(24) + 0,06m(34) > S + s - 0,03m(l) + 0,lw(2)+ 0,03w(3)- 0,lm(l2) + 0,03m(l3) - 0,03m(l4) + 0,08w(23) + 0,li»(24) + 0,03m(34) > 5 + e 0,04m(l) - 0,07m(2) - 0,03m(3) + 0,25m(4) - 0,07m(l2) - 0,03m(l3) + 0,25w(l4)- 0,07w(23) + 0,12w(24)+ 0,16m(34) > Ö + s 0,05ı»(l)+ 0,07w(2)- 0,06w(3)+ 0,07m(l2) + 0,03m(l3)+ 0,07m(23) > S + s - 0,01ı»(l) + 0,09m(3)- 0,01m(l3) > 8 + s m(l) + m(2) + m(3) + m(A) + m(l2) + m(l 3) + i»(l4) + m(23) + m(24) + m(34) = 1 m(î)>0, i e N = {1,2,3,4} m{i) + m(ij) > 0, i,jeN = {l, 2, 3, 4 } m(i)+m(ij)+ m(ik)> O, i,j,k e İV = {l, 2, 3, 4 } m(i) + m(ij)+ m(ik) + m(il) > 0, i,j,k,l eN = {l, 2, 3, 4 } Bu doğrusal program Excel SOLVER yazılımı kullanılarak çözülmüştür. Burada S = 0,025 değeri kullanılarak en uygun sonuçlar belirlenmiştir. Tablo 2 tek elemanlı alt kümelerin, yani ölçütlerin, ölçümlerini ve Shapley değerlerini, yani önem derecelerini göstermektedir. xvTablo 2. m(i) = /^ağırlıkları ve Shapley değerleri 1. TOEFL 2. GRE 3. Ortalama 4.Kompozisyon m{i)=n(i) 0,3205 0,5692 0,3205 0,2582 I(i) 0,1603 0,4440 0,2154 0,1804 Etkileşim endisleri yani ölçüt ikililerinin ağırlıkları ise Tablo 3 'de gösterilmiştir. Tablo 3. Etkileşim endisleri K İl) = rnjif) 2. GRE 3. GPA 4. Kompozisyon 1. TOEFL 0 -0,3205 0 2. GRE 0,0077 -0,2582 3. Ortalama 0,1026 Elde edilen bu sonuçlan kullanırken ihtiyatlı davranmak gerekir. Çünkü elde ettiğimiz aslında sadece öngördüğümüz kısıtlarla tutarlı olan bir çözümdür. Yani sadece bu çözüm ile genel sonuçlar çıkarmak doğru olmayabilir. Üstelik önerilen bu program çoklu çözümlere yatkın bir yapıdadır. Dolayısıyla modelin parametrelerini belirlerken dikkatli davranmalı ve aranan bulanık ölçümü en iyi yansıtan çözüm seçilmeye çalışılmalıdır. ikinci aşamada ise elde edilen bu katsayıların faydası 20 kişilik yeni bir örneklem kullanılarak test edilmiş ve yaygın kullanım gören çok ölçütlü karar verme araçlarıyla elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Kullanılan 20 öğrencilik örneklem Tablo 4'de gösterilmiştir. Tablo 4. Öğrencilerin puanları No TOEFL GRE Ort Komp No TOEFL GRE Pıt Komp XVIAdayların puanları yine en büyük değer kullanılarak normalize edilmiş ve doğrusal programla bulduğumuz Möbius transformasyonu kullanılarak Choquet entegralleri hesaplanmıştır. TOPSIS yöntemi ile adaylar arasında bir sıralama elde edilirken ölçütlerin ağırlıklandırılmasında Shapley değerleri kullanılmıştır. Böylece ideal ve karşıt-ideal sonuçlara olan uzaklıkları ile hesaplanan puanlara göre adaylar sıralanmıştır. ELECTRE El yönteminde ise ilgili bilgisayar programı kullanılmış, adaylar ve performansları girildikten sonra ölçütlerin tercih (pj) ve farksızlık (qj) eşikleri belirlenmiştir. Burada kullanılan eşiklerin sabit olması tercih edilmiştir. Bu değerler Tablo 5'de üç yöntemden elde edilen sonuçlar ise Tablo 6'da gösterilmiştir. Tablo 5. Tercih ve farksızlık eşikleri TOEFL GRE Ortalama Kompozisyon qı 3 10 0,02 0 Pı 10 30 0,05 0 Tablo 6. Kullanılan üç çok ölçütlü karar verme yöntemi ile elde edilen sonuçlar Sıra TOPSIS Choquet ELECTRE m Aday C Aday Cj, Aday XV11Farklı çok ölçüttü karar verme yöntemlerinden elde edilen sıralamaların değerlendirilmesi için Spearman sıra korelasyonu katsayısı hesaplanmıştır. Adayların Choquet entegralinin uygulaması sonucu elde edilen sıralamaları ile TOPSIS ve ELECTRE El sıralamaları arasında korelasyon katsayıları ayrı ayrı hesaplanmış ve bir hipotez testi ile aralarında pozitif bir korelasyon olduğu hipotezi doğrulanmıştır. TOPSIS ve Choquet sıralamaları arasındaki korelasyon katsayısı 0,95; ELECTRE IH ve Choquet entegrali sıralamaları arasında ise 0,75'dir. %1'lik anlamlık derecesi için eşik değeri ise 0,534'dir. Bulanık ölçüm çok ölçüttü karar vermede henüz etkin bir biçimde uygulanamamış bir araçtır. Teorik alanda çalışmalar derin olarak yapılmış olsa da farklı alanlardaki uygulamaları incelenmeli ve geliştirilmelidir. Burada incelediğimiz örnek bulanık ölçümlerin günlük hayatımızda karşılaştığımız problemlerde etkin olarak uygulanabileceğini göstermiştir. xviii T.C YOKSEKÖCKTTİM KÜRÜ U3 IKHCftUUJVrASVOtf »rrRKtZİ