Sabit nokta teorisinin eğrilik tipi denklemlere uygulamaları.

Bu tezde, diferansiyel geometri ve fonksiyonel analiz alanlarının kesişiminde yer alan eğrilik denklemlerinin analizi ele alınmaktadır. Özellikle dönel simetriye sahip yüzeylerden elde edilen eğrilik denklemlerinin tekillik içeren adi diferansiyel denklemlere indirgenmesi ve bu denklemlerin çözülebilirliği çalışmanın temel amacını oluşturmaktadır. Tezin ana hedefi, sabit nokta teorisine dayalı yöntemler kullanılarak bu tür tekil problemlerde varlık ve teklik sonuçlarının elde edilmesidir. Çalışmada, belirli Weingarten türü eğrilik ilişkilerini sağlayan dönel yüzeyler incelenmiş ve bu yüzeylerin dönme eksenini dik olarak kesmesi durumunda ortaya çıkan tekil başlangıç değer problemleri analiz edilmiştir. Tezin temel hipotezi, söz konusu tekil adi diferansiyel denklemlerin uygun fonksiyon uzaylarında integral denklemlerine dönüştürülmesi halinde, Banach daraltma prensibi ve Picard yaklaşımı kullanılarak yerel çözümlerin varlığı ve tekliğinin ispatlanabileceğidir. Araştırmada örneklem olarak, Euclid uzayında tanımlı dönel simetriye sahip yüzeylerden türetilen matematiksel modeller kullanılmıştır. Yöntem olarak, metrik uzaylar ve Banach uzayları çerçevesinde sabit nokta teorisi uygulanmış, tekil diferansiyel denklemler integral operatörler aracılığıyla ele alınmıştır. Elde edilen bulgular, uygun koşullar altında dönel Weingarten yüzeylerine karşılık gelen çözümlerin yerel olarak var olduğunu ve tek olduğunu göstermektedir. Sonuç olarak, bu tez, tekil eğrilik denklemlerinin analizinde sabit nokta yöntemlerinin etkinliğini ortaya koymakta ve diferansiyel geometri ile fonksiyonel analiz arasındaki ilişkiye katkı sağlamaktadır.