Bazı özel matrislerin kuvvetleri ile genelleştirilmiş fibonacci ve lucas dizileri arasındaki ilişkiler

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ilk olarak tez konusu ile ilgili literatürde yer alan bazı kavramlar ve çalışmalardan bahsedilmekte daha sonra ise tezin amacı anlatılmaktadır. İkinci bölümde ise çalışmanın devamında kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremler verilmektedir. Üçüncü bölümde önce özdeğerleri 𝛼, 𝛽 ve 𝑟 ≠ 0 ile 𝑟 2 − 𝑝𝑟 − 𝑞 ≠ 0 koşullarını sağlayan 𝑟 ∊ ℝ olan, 3 × 3 boyutlu matrislerin elde edilmesi ve bu matrisler ile genelleştirilmiş Fibonacci dizisi arasındaki bazı ilişkiler verilmektedir. Burada 𝑝 ve 𝑞 sayıları, 𝑝^2 + 4𝑞 > 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, 𝛼 ve 𝛽, 𝑥 2 − 𝑝𝑥 − 𝑞 = 0 denkleminin kökleridir. Matris köşegenleştirilmesi yardımıyla bu tür matrislerin tamsayı kuvvetleri ile genelleştirilmiş Fibonacci dizisi arasında ilişki kurulmakta ve örnek bir matrisin kuvvet bağıntısı elde edilmektedir. Sonra ise genel olarak 𝑋^3 − (𝑟 + 𝑝)𝑋^2 + (𝑟𝑝 − 𝑞)𝑋 + 𝑞𝑟𝐼 = 𝟎 koşulunu sağlayan tüm 𝑋 matrislerinin tamsayı kuvvetlerinin genelleştirilmiş Fibonacci dizisi yardımıyla bulunabileceği gösterilmektedir. Elde edilen bu sonuç özel matrislerde kullanılarak genelleştirilmiş Fibonacci dizisine ait bazı cebirsel özellikler elde edilmektedir. Bu bölümde son olarak, öncelikle özel bir genelleştirilmiş Tribonacci dizisi tanımlanmakta ve yine 𝑋^3 − (𝑟 + 𝑝)𝑋^2 + (𝑟𝑝 − 𝑞)𝑋 + 𝑞𝑟𝐼 = 𝟎 koşulunu sağlayan 𝑋 matrislerinin tamsayı kuvvetlerinin bu dizi sayesinde elde edilebileceği gösterilmektedir. Ardından, elde edilen ilişkilerden yola çıkılarak genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ile özel olarak tanımlanmış olan genelleştirilmiş Tribonacci dizisinin terimleri arasındaki bazı ilişkiler elde edilmektedir. Dördüncü bölümde, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ile matrisler arasındaki ilişkiler ele alınmaktadır. Bu bölümde ilk olarak bir 𝑛 tamsayısı için 𝑋^2 − 𝑉𝑛𝑋 + (−𝑞)^𝑛 𝐼 = 𝟎 koşulunu sağlayan 𝑋 matrisleri ile genelleştirilmiş Fibonacci dizisi arasındaki ilişki elde edilmekte ve bu koşulu sağlayan matrislerin tamsayı kuvvetlerinin genelleştirilmiş Fibonacci dizisi yardımıyla bulunabileceği gösterilmektedir. Bu sonuç bazı özel matrislerde kullanılarak, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerine ait bazı cebirsel özellikler elde edilmektedir. Daha sonra, 𝑋^3 – 𝑉𝑛𝑋^2 + (−𝑞)^𝑛𝑋 = 𝟎 denklemini sağlayan matrisler ile genelleştirilmiş Fibonacci dizisi arasındaki ilişki incelenmektedir. Bu türdeki matrislerin öncelikle pozitif tamsayı kuvvetlerinin genelleştirilmiş Fibonacci dizisi yardımıyla elde edilebileceği gösterilmekte ve bu koşulu sağlayan uygun matrislerin 𝑛. dereceden köklerini bulmak için bir sonuç elde edilmektedir. Ardından, uygun koşulları sağlayan bazı matrislerin Moore-Penrose terslerini bulmak için bir metot geliştirilmektedir. Elde edilen metot yardımıyla gerekli koşulları sağlayan kare olmayan matrislerin de Moore-Penrose terslerinin bulunması için bir yöntem verilmektedir. Bu bölümde son olarak, elde edilen sonuçların kullanımını göstermek amacıyla matrislerin köklerinin ve Moore-Penrose terslerinin elde edildiği sayısal örnekler verilmektedir. Beşinci bölümde, önceki bölümlerde elde edilen yöntemlerden yola çıkılarak benzer düşünce ile 𝑘-genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ile matrisler arasındaki bazı özdeşlikler verilmektedir. Önce, 𝑡 sıfırdan farklı ve 𝑡^𝑘 − 𝑡^𝑘−1 − 𝑡^𝑘−2−. . . −𝑡 − 1 ≠ 0 koşulunu sağlayan bir reel sayı olmak üzere, 𝑋^𝑘+1 − (𝑡 + 1)𝑋^𝑘 + 𝑡𝐼 + ∑ (𝑡 − 1)𝑋^i= 𝟎 koşulunu sağlayan 𝑋 matrisleri ile 𝑘-genelleştirilmiş Fibonacci dizisi arasındaki bir özdeşlik ortaya koyulmaktadır. Devamında 𝑘-genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ile ilişkili özel bir dizi tanımlanmakta, bu dizinin terimleri ile 𝑘-genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin terimleri arasındaki bazı özdeşlikler gösterilmekte ve son olarak elde edilen özdeşliklerden yararlanılarak 𝑘-genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin terimlerini elde etmek için bir formül verilmektedir. Son bölümde ise önceki bölümlerde elde edilenler kapsamlı bir şekilde tartışılmakta ve gelecekte yapılabilecek yeni çalışmalar için önerilerde bulunulmaktadır.