Bazı tipten kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümlerinin patlaması ve uzun zaman davranışı

Tezin birinci bölümünde, enerji azalımı ve çözümlerin patlaması konusundaki günümüze kadar yapılmış olan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır. İkinci bölümde, tez boyunca kullanılan temel tanımlar, teoremler ve eşitsizlikler sunulmuştur. Çalışmanın üçüncü bölümünde, tezde kullanılacak olan enerji azalımı ve çözümlerin patlaması ile ilgili temel lemmalar ve ispatlar verilmiştir. Dördüncü bölümde kaynak ve lineer olmayan damping terim içeren genelleştirilmiş Klein-Gordon denklem sistemi için başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada , de düzgün sınırına sahip sınırlı bir bölgedir. Ayrıca ve dır. için olmak üzere; ve dır. Böylece için olur. Bu çalışmada kaynak ve lineer olmayan damping terim içeren genelleştirilmiş Klein-Gordon denklem sisteminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması gösterilmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir fonksiyonu bulunup, fonksiyonunun için yani artmayan olduğu elde edilir. Daha sonra Nakao eşitsizliği kullanılarak belli eşitsizlikler, lemmalar yardımıyla ve için iki farklı durumda enerji azalması gösterilir. Çözümlerin patlaması ise 1994 yılında Georgiev ve Todorova tarafından ortaya koyulan yöntem ile ispatlanmıştır. Bu yöntemde başlangıç enerjisi olarak ele alınır ve çözümün bütün zamanlarda var olduğu kabul edilip buradan bir çelişki elde edilir. Böylece çözümün sonlu bir zamanda patladığı gösterilir. İlk olarak enerji fonksiyonunun negatifi olan bir fonksiyon ele alınır yani , ve olur. Buradan daha sonra belirlenecek yeterince küçük bir sabit olmak üzere ve tanımlanır. Burada amaç, fonksiyonunun şeklinde bir diferensiyel eşitsizliğini sağladığını göstermektir. Bu durum, çözümün sonlu bir zamanında patladığını ifade eder ve olur. Beşinci bölümde hidrodinamik sönümlü terim içeren Rosenau denkleminin başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada ve dır. Bu çalışmada çözümlerin patlaması 1974 yılında Levine tarafından ortaya koyulan Konkavlık metodu kullanılarak ispatlanmıştır. İlk önce çözümü olacak şekilde yazılır. Enerji fonksiyonu için olur. Daha sonra probleme ait uygun bir fonksiyoneli şeklinde seçilir. Burada , and pozitif sabitlerdir. fonksiyonu pozitif, iki kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere ve için eşitsizliğini sağladığı gösterilir. Eğer ve ise o zaman iken olacak şekilde pozitif sabiti vardır. Altıncı bölümde ise doğrusal olmayan damping terim içeren -triharmonik denklem sistemi için başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Burada , de düzgün sınırına sahip sınırlı bir bölgedir. Ayrıca ve olup ve -triharmonik operatörlerdir. için olmak üzere; ve dır. Böylece için olur. Bu çalışmada -triharmonik denklem sisteminin çözümlerinin enerji azalması ve patlaması gösterilmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir fonksiyonu bulunup, fonksiyonunun için yani artmayan olduğu elde edilir. Daha sonra Nakao eşitsizliği kullanılarak belli eşitsizlikler, lemmalar yardımıyla ve için iki farklı durumda enerji azalması gösterilir. Çözümlerin patlamasını göstermek için ise 2003 yılında Li ve Tsai tarafından bulunan yöntem kullanılmıştır. Çözümlerin patlaması durumu için gösterilir. olarak alındığında, çalışılan problem olur. Burada çözümü için şartını sağlayan sonlu bir zamanında çözümün patlaması gösterilir. Çözümlerin patlamasına başlangıç enerjisinin , ve üç farklı durumuna göre bakılır. Anahtar Kelimeler: Global varlık, Çözümlerin patlaması, Enerji azalması, Nakao eşitsizliği, Klein-Gordon denklemi, Rosenau denklemi, p-triharmonik denklem