Bir ayrık yaklaşım yöntemi ile 1-boyutlu Benjamın-Bona-Mahony-Burgers denkleminin çözümü

Bu tezin konusu, küçük genlikli uzun dalgaların nonlineer bir dağılma ortamında yayılımını açıklayan 1-boyutlu lineer olmayan Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers) denkleminin verilen başlangıç ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık nümerik çözümlerinin hesaplanması hakkında olduğundan Bölüm 1'de kısaca denklemin öneminden ve literatürde mevcut olan çalışmalardan bahsedildi. Bu çalışmanın esasını oluşturan Bölüm 2'de model problem olarak göz önüne alınan 1-boyutlu lineer olmayan genel biçimde verilen BBM-Burgers denkleminin uygun başlangıç ve sınır şartlarına bağlı yaklaşık sayısal çözümleri ile birlikte hesaplanan bazı sonuçları vermek için bir sayısal şema sunuldu. Bunun için BBM-Burgers denklemi, önce zamana göre türevler için birinci mertebeden ileri sonlu fark yaklaşımı ve tüm konumsal türevler için standart ikinci mertebeden merkezi fark yaklaşımı kullanılarak Crank-Nicolson tipi yöntemle tamamen ayrıklaştırıldı ve böylece lineer olmayan bir kapalı şema elde edildi. Sonra, kapalı ¸semanın bir direkt yöntemle çözümü amaçlandığından, şemada yer alan doğrusal olmayan terim yerine Rubin-Graves tipi bir lineerleştirme yaklaşımı kullanılarak başlangıç ve sınır değer problemi tri-diagonal matrislerden oluşan ve bir direkt çözüm yöntemi ile doğrudan çözülebilen bir lineer cebirsel denklem sistemine indirgendi. Bölüm 3'te bir önceki bölümde sunulan şemanın doğruluğunu ve etkinliğini kontrol etmek için, ikisi analitik çözüme sahip olan ve biri analitik çözüme sahip olmayan üç deneysel test problem verildi. Bölüm 4'te Bölüm 2'de sunulan şemadan hesaplanan sonuçlar (çözümün noktasal değerleri, L2 ve L∞ hata normları, şemanın doğruluk mertebeleri ve CPU zamanları) problemde görülen aynı parametre değerleri için literatürde mevcut çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırıldı. Elde edilen yaklaşık sayısal sonuçlardan konum ve zaman adım uzunlukları küçüldükçe sunulan şemanın analitik çözümlere yaklaşan yeterince iyi sonuçlar verdiği ve diğer araştırmacılarınkilerle kabul edilebilir bir uyum içinde olduğu görüldü. Ayrıca kullanımı kolay olan ¸semanın von-Neumann tekniği ile kararlılığı incelendi ve şemanın şartsız kararlı olduğu gösterildi. Son bölüm olan Bölüm 5'te ise kısa bir sonuç ile birlikte ileriki çalışmalardan bahsedildi.