Calculation of masses of dark solitons in 1D Bose-Einstein condensates using Gelfand Yaglom method

Bose Einstein yoğuşmasının lineer olmayan uyarımları, yoğuşmanın dinamiğini anlamada önemli bir rol oynamaktadır. Şekillerini muhafaza eden dalga paketleri olan solitonlar Bose-Einstein yoğuşmalarının en temel lineer olmayan uyarımlarıdır. Salınımlarda ve çarpışmalarda karakteristik parametreleri değişmediğinden parçacık özelliği de gösterirler ve etkin kütleleri hesaplanabilir. Merkezlerindeki madde yoğunluğu kenarlarına göre daha az olan solitonlara karanlık solitonlar denir. Karanlık solitonların Gross-Pitaevskii yaklaşımıyla hesaplanan taban durum enerjilerine kuantum dalgalanmalarının katkılarını dahil ederek, bu enerji daha ileri bir seviyede hesaplanabilir. Bu dalgalanmaların enerji-momentum ilişkilerini Bogoliubov de Gennes denklemleri verir. Ancak alışılagelmiş analitik yaklaşımlarla, sadece sınırlı sayıdaki modun katkıları hesaplanabilir. Biz, büyün modları dahil ederek taban durum enerjisini analitik olarak elde etmek için, sistemin serbest enerjisini bölüşüm fonksiyonundan türettik. Bölüşüm fonksiyonu, periyodik sınır koşullarına sahip bir imajiner zaman koherent durum Feynman yol integrali şeklinde yazılabilir. Buşekilde yazdığımızda sonsuz boyutlu bir Gauss integrali elde ederiz. Bu integralin değeri, integrand içinde üstel fonksiyon halinde bulunan fonksiyonelin determinantı ile orantılıdır. Bu fonksiyonelin determinantını bulmak için fonksiyonel determinantlarının zeta fonksiyonu ve kontur integraller kullanılarak hesaplanmasının bir boyuttaki Schrödinger operatörlerine uyarlanmış hali olan Gelfand Yaglom metodunu kullandık. Böylelikle, karanlık solitonların kütlelerinin Bogoliubov seviyesine kadar kesin analitik hesaplanmasında yeni bir y{öntem geliştirdik.