MIMO sistemlerin köşegen baskınlığı ve kararlılığı için parametre bölgelerinin belirlenmesi

Endüstride karşılaşılan sistemlerin birçoğu birden fazla giriş ve çıkış değişkenine sahiptir. Bu tarz sistemler SISO sistemlerle karşılaştırıldıklarında, birçok farklı yapısal özellikleri göze çarpmaktadır. Örneğin, en genel durumda herhangi bir çıkış tüm girişlerden az veya çok etkilenir. Diğer taraftan, kontrolör türleri açısından bakıldığında ise araştırmacılar genel olarak "merkezi" ve "merkezi olmayan" olmak üzere iki farklı kontrol yapısına odaklanmışlardır. Ancak, ayarlanacak parametre sayısının azlığı, dayanıklılık ve operatör açısından kullanım kolaylığı gibi nedenlerle merkezi olmayan kontrol yapılarının uygulamalarda daha sık tercih edildiği ileri sürülebilir. Farklı giriş çıkış çiftleri arasındaki etkileşimlerin önemli boyutlara ulaştığı durumlarda ise bu tür kontrolörlerin performansı ve etkinliği genel olarak azalır. Yukarıda bahsedilen nedenlerden dolayı MIMO sistemlerde etkileşimlerin azaltılması özellikle merkezi olmayan kontrolör tasarımı açısından büyük bir önem arz etmektedir. MIMO sistemlerde etkileşimleri azaltmak amacıyla kullanılabilecek yöntemlerden bir tanesi de tam köşegenleştirme ile karşılaştırıldığında daha zayıf bir koşulun sağlanmasını gerektiren köşegen baskınlık kavramıdır. Köşegen baskın sistemlerde bir giriş değişkeni özel bir çıkış değişkeni ile diğer çıkışlara oranla çok daha fazla ilişkilidir. Bu nedenle, bu tezin en temel hedeflerinden bir tanesi MIMO sistemlerde köşegen baskınlık koşullarını sağlayan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesidir. Buna ek olarak, en genel durumda köşegen baskınlık kararlılığı gerektirmediğinden çok değişkenli sistemleri kararlı kılan kontrolör parametrelerinin belirlenmesi de yine bu tez kapsamında amaçlanan temel hedeflerden bir diğeridir. Sonuç olarak, merkezi olmayan kontrolör tasarımına ön adım oluşturacak şekilde hem köşegen baskınlık hem de kararlılık koşullarının sağlandığı kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmektedir. Literatürde köşegen baskınlık kavramının önemi özellikle Rosenbrock'un 1970'lerin başındaki çalışmalarından sonra artmıştır. Ancak süreç içerisinde araştırmacıların büyük bir çoğunluğu köşegen baskınlık ile ilgili olarak belirli bir ölçütü en iyileyen kontrolör parametre çiftlerinin belirlenmesine yönelmiştir. Bu durum ise bir sonraki tasarım adımında kısıtlamalara neden olabilmektedir. Buna ek olarak, parametre belirsizliği durumunda köşegen baskınlığın korunup korunmadığı ve/veya belirlenen parametre çiftinin köşegen baskınlık sınırlarına ne kadar yakın olduğu genel olarak detaylı bir şekilde araştırılmamıştır. Bu tez kapsamında köşegen baskınlık üzerindeki gerek ve yeter koşulların belirlenmesi hedeflendiğinden, özel olarak TITO sistemler ve köşegen yapıdaki kontrolör durumu detaylı olarak ele alınmıştır. Bu tarz sistemleri, verilen sabit bir frekans değerinde köşegen baskın kılan kontrolör parametreleri üzerindeki gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar sonlu sayıdaki frekans noktası için de geçerlidir ve pratik açıdan bakıldığında verilen bir frekans aralığına da genişletilebilir durumdadır. Buna ek olarak, daha iyi baskınlık oranı sağlayan parametre bölgelerinin belirlenmesine yönelik olarak orjinal köşegen baskınlık tanımına ağırlık faktörleri eklenmiş ve bu durum için gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Son olarak da statik köşegen kontrolör durumunda sütun köşegen baskınlığı için kontrolör parametre bölgelerinin yapısını değiştiren kritik frekans değerleri belirlenmiştir. Elde edilen sonuçların köşegen baskınlık açısından etkinlikleri, örnek sistemler ve farklı kontrolörler üzerinden, Gershgorin Diskleri ve köşegen baskınlık çizimleri kullanılarak gösterilmiştir. MIMO sistemleri kapalı çevrimde kararlı kılan kontrolör parametrelere bölgelerinin belirlenmesi için ise Lyapunov eşitliği temelli bir yöntem ileri sürülmüştür. Bu yöntem sayesinde frekans tabanlı yöntemlerde karşılaşılan tekil frekansların hesaplanması ve/veya frekans taraması gibi adımlara olan ihtiyaç ortadan kaldırılmıştır. Temel Lyapunov yaklaşımı açısından bakıldığında LTI sistemler için Lyapunov matrisi olan P(k)'nın pozitif tanımlılığı gerek ve yeter koşuldur. Ancak, Lyapunov matrisi P(k)'nın pozitif tanımlılığı en genel durumda 2n adet parametrik eşitliğin çözümünü gerektirir. Yapılan analizle bu sayı önce n+1'e indirilmiştir. Ardından, Lyapunov matris eşitliği Kronecker çarpımları ve vektörizasyon operatörü kullanılarak standart forma indirgenmiş ve tanımlanan yeni M(k) matrisinin determinantının tartışılan sistem için bir kararlılık sınırı oluşturduğu sistem matrisi A(k), Lyapunov matrisi P(k) ve Kronecker çarpımları üzerinden tanımlanan M(k)'nin birbirleriyle olan ilişkileri üzerinden gösterilmiştir. Dolayısıyla M(k) matrisinin determinantını sıfır ve sonsuz yapan kontrolör parametrelerinin ilgili sistemin kararlılık sınırını oluşturduğu belirlenmiştir. Diğer bir deyişle, kararlılık sınırlarının belirlenmesi en fazla iki adet parametrik ifadenin çözümüne indirgenmiştir. Lyapunov formulasyonunda kullanılan P(k) ve Q matrislerinin simetrikliğinden kaynaklanan M(k) matrisinin determinantınındaki tekrarlanan özdeğerler ise eleminasyon ve duplikasyon matrisleri kullanılarak uygulanan dönüşümler yardımıyla ortadan kaldırılmıştır. Önerilen yöntemin literatürde var olan PSA gibi yöntemlerle ilişkisi ise sonlu ve sonsuz kök sınırları üzerinden gösterilmiştir. Kararlı kılan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesinde Lyapunov temelli bir yaklaşım kullanıldığından öne sürülen yöntem sadece MIMO sistemlerde değil Lyapunov formülasyonunun kurulabildiği çok geniş bir sistem sınıfına ve alt problemlere de uygulanabilir durumdadır. Bu durumu gösterebilmek amacıyla ilk olarak MIMO sistemlerde kontolör entegrasyonu problemi ele alınmıştır. MIMO kontrolörlerde meydana gelebilecek olası hataları göz önünde bulundururak olası hata durumlarında dahi sistemin kararlılığını garanti etmeyi amaçlayan bu probleme bir çözüm önerisi sunulmuştur. Önerilen yöntemin etkinliği literatürde var olan yaklaşımlar üzerinden karşılaştırmalı olarak gösterilmiştir. Buna ek olarak, yine önerilen Lyapunov eşitliği temelli yöntemin olası diğer kullanım alanlarını vurgulamak amacıyla ayrık zamanlı sistemlerin kararlılığı ayrıntılı olarak tartışılmıştır. Bu durumda önerilen yaklaşımın nasıl değiştiği vurgulanmıştır. Lyapunov temelli yaklaşım ile kararlılık sınırlarının analitik ifadelerinin belirlenmesi de mümkündür. Bu durum da özellikle optimizasyon temelli tasarım yöntemlerinde farklı kullanım alanları açmaktadır. Bu kapsamda dayanıklı MPC problemi detaylı olarak ele alınmıştır. Lyapunov yöntemi kullanılarak belirlenen analitik kararlılık sınırları dayanıklı MPC problem formülasyonunda kullanılarak ele alınan problem nominal MPC problemine dönüştürülmüştür. Önerilen yöntemin etkinliği literatürde sıklıkla kullanılan bir sistem üzerinden de gösterilmiştir. Tam köşegenleştirme ile karşılaştırıldığında, köşegen baskınlık daha zayıf bir koşul olarak ortaya çıkar. Bu nedenle, parametre belirsizlikleri durumunda dahi bu koşulu sağlayan kontrolör parametrelerini belirlemek mümkün hale gelir. Bu tez kapsamında, TFM elemanlarının aralık tipi parametre belirsizliği içerdiği TITO sistemler detaylı olarak tartışılmıştır. Bu tür sistemleri parametre belirsizlikleri durumunda dahi köşegen baskın kılan statik köşegen kontrolörlerin belirlenmesi hedeflenmiştir. Bu hedef doğrultusunda üçgen eşitsizliği ve tarama yöntemlerine dayanan iki farklı konservatif yöntem önerilmiştir. Bu yaklaşımlar kullanılarak tartışılan problem ilk aşamada nominal sistemin ağırlıklandırılmış baskınlık problemine dönüştürülmüştür. Sonrasında da önceki bölümlerde elde edilen sonuçlar kullanılarak sonuca gidilmiştir. Son olarak da belirsiz parametre içeren çok değişkenli sistemlerin kararlılığı tartışılmıştır. Bu aşamada belirsiz parametreler için literatürde kullanılan iki farklı varsayıma yer verilmiştir. İlk varsayımda belirsiz parametreler üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur ve sistemi kararlı kılan tüm belirsiz parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmektedir. Bu durumda önerilen Lyapunov temelli yöntem direkt olarak uygulanabilir durumdadır. Bu yöntemin aksine literatürde var olan bir çok yöntemde ise belirsiz parametre sayısı ve türü üzerinde bir takım varsayımlarda bulunularak sonuçlar elde edilmiştir. Bu tez kapsamında önerilen yöntemin doğruluğu literatürde var olan farklı örnek durumlar üzerinden gösterilmiştir. Diğer taraftan, bazı durumlarda belirsiz sistem parametrelerinin alabileceği minimum ve maksimum değerler belirlidir. İlgili parametrenin bilinen bu değerler arasında bir değer aldığı tüm durumlarda polinom ailesinin kararlı kalıp kalmadığının belirlenmesi hedeflenir. SISO sistemler için bazı özel durumlarda sonlu sayıda polinomun kararlı olmasının tüm polinom ailesinin kararlığını garanti ettiği gösterilmiştir. MIMO sistemlerde ise en basit durumlarda bile kontrolör parametrelerinin ve TFM'yi oluşturan transfer fonksiyonlarının çarpımları karakteristik polinomda görünmektedir. %SISO sistemlerle karşılaştırıldığında bu tarz durumlarda dayanıklı kararlılığı sağlayan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesi görece daha zordur. Tartışılan bu problemde karakteristik polinom, hem alt ve üst sınırları bilinen belirsiz parametreleri hem de serbest kontrolör parametrelerini içermektedir. Bu tez kapsamında yukarı yakınsama yaklaşımından da yararlanılarak, Kharitonov Teoremi ve önerilen Lyapunov eşitliği temelli yaklaşımla bu tarz sistemleri dayanıklı kararlı kılan kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesine yönelik bir yöntem önerilmiştir. Önerilen bu yöntem Kharitonov Teoremi de kullanıldığından hesaplama yükünü önemli oranda azaltmaktadır ancak değişmez kontrolör parametre bölgelerinin belirlenmesinde ek analiz adımlarını da beraberinde getirmektedir. Özetle, bu tez kapsamında nominal ve parametre belirsiz MIMO sistemeleri hem köşegen baskın kılan hem de kararlı yapan köşegen tipteki kontrolörlerin parametre bölgelerinin belirlenmesi hedeflenmiştir. Köşegen baskınlık açısından bakıldığında gerek ve yeter koşulların belirlenmesi hedeflendiğinden TITO sistemler üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Diğer taraftan kararlı kılan kontrolör parametrelerinin belirlenmesinde ise herhangi bir sistem veya kontrolör kısıtı bulunmamaktadır.