Diferansiyel denklemlerin bazı yaklaşık çözüm yöntemleriyle çözümü ve karşılaştırılması

Bilim ve teknik dünyasında, ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler, bilimsel problemlerin çözümünde büyük öneme sahiptir. Bu tür diferansiyel denklemler, uygulamalı bilimlerle ilgilenen birçok bilim insanı tarafından çalışılmaktadır. Çalışma yapılan diferansiyel denklemlerden bir tanesi de Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlerdir. Astrofizikte, Lane-Emden denklemi, Newtoncu özçekim etkisi olan, küresel simetrik, politropik bir akışkanın yerçekimi potansiyeli için Poisson denkleminin boyutsuz bir formudur. Bu denklem, astrofizikçi Jonathan Homer Lane ve Robert Emden'in adını taşır. Lane–Emden denklemi, kendi çekimine sahip politropik bir bedenin iç yapısını tanımlamak için ilk kez kullanılmıştır. Bu denklemler, yıldızın yarıçapını ve kütlesini hesaplamak, yıldızın iç yapısını tanımlamak, basınç, yoğunluk ve sıcaklık gibi değişkenlerinin dağılımını ve hidrostatik denge durumunu analiz etmek için kullanılan bir dizi diferansiyel denklem sistemidir. Sıcaklık etkilerinin de dahil edildiği durumlarda, örneğin izotermal gaz kürelerinin incelendiği durumlarda, astrofiziksel olay bir Lane–Emden denklemi tarafından tanımlanır. Yirminci yüzyılın ikinci yarısında, izotermal çözümün (tekil izotermal küre) ve bu çözümün tekil olmayan modifikasyonlarının ilginç uygulamaları, küresel kümeler ve erken tip galaksiler gibi çarpışmasız sistemlerin yapılarında kullanıldı. Bu denklemler, özellikle kütlesi ve yapısal özellikleri hakkında bilgi edinmek istediğimiz küçük kütleli yıldızlar gibi belirli yıldız türleri üzerinde çalışırken kullanışlıdır. Yıldız içlerinin incelenmesinde ortaya çıkan ikinci dereceden bir basit diferansiyel denklem, aynı zamanda politropik diferansiyel denklemler olarak da adlandırılır. Dahası, bu denklemler astrofiziğin ötesinde daha geniş uygulamalara sahiptir. Özellikle kimya mühendisliği ve aerodinamik dahil olmak üzere çeşitli mühendislik alanlarıyla ilgili olan sıkıştırılabilir akışkan kürelerde akışkan dinamiği çalışmalarında temel modeller olarak hizmet ederler. Lane-Emden denklemlerinin matematiksel zarafeti ve faydası, onları teorik astrofiziğin ve uygulamalı matematiğin ayrılmaz bir parçası haline getirmektedir. Çok yönlülükleri, matematikçilerin ve bilim insanlarının karmaşık fiziksel sistemleri keşfetmelerine ve anlamalarına olanak tanıyarak gök cisimlerinin davranışları hakkında değerli bilgiler sağlar ve çeşitli bilimsel disiplinlerde matematiksel modellemedeki ilerlemelere katkıda bulunur. Lane-Emden tipi diferansiyel denkleminin çözülmesi ve analiz edilmesi, özellikle orijin olmak üzere bazı noktalarda tekillik oluşması nedeniyle zor olmuştur. Bu özelliği sayesinde diferansiyel denklemler için yeni yöntemler geliştirilmesi için birmodel denklem olmuştur. Çözümlerin fiziksel yapısı literatürde bulunabilir. Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlerin çözümleri bilgisayar yardımıyla elde edilebilir, ancak fiziksel anlayış için analitik çözümlere çok ihtiyaç olduğu gözlemlenmektedir. Bu tez çalışmasında, yukarıda bahsedilen Lane-Emden tipi diferansiyel denklemleri ve bu denklemlerin çözümünde kulanılan bazı yöntemler tanıtılıp, belirli uygulamalarına yer verilmiştir. Bu uygulamaların sonucuna göre çözüm yöntemlerinden hangisinin daha kullanışlı olduğuna dair fikir beyan edilecektir. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır ve planı aşağıdaki gibidir. Birinci bölümde, özette tanıtılan Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlerin formüle edilmiş gösterimi, temel elemanları ve denklem örnekleri verilmiştir. Daha sonra tezin amacı ve Lane-Emden tipi denklemlerin çözümü için literatürde geliştirilen yöntemlerden bahsedilmiştir. Tezin ikinci bölümünde teorik kısım yer almaktadır. Bu bölümde temel bazı kavramlar, ayrıca problemlerin çözümünde kullanılacak olan çözüm yöntemleri olan HE varyasyonel iterasyon yöntemi, homotopi analiz metodu, adomian ayrışım yöntemi, sonlu farklar yöntemi ve homotopi pertürbasyon yöntemi tanıtılmıştır. Tezin üçüncü bölümde seçtiğimiz iki tane Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlerini verilen sınır şartları altında, ikinci bölümde tanıttığımız metotlar ile sırasıyla çözümü yapılmış ve çözüm sonucunda aldığı değerler tablo yardımıyla gösterilmiştir. Son bölümde Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlerin HE varyasyonel iterasyon yöntemi, homotopi analiz metodu, adomian ayrışım yöntemi, sonlu farklar yöntemi ve homotopi pertürbasyon yöntemine göre bu çalışmada elde edilmiş olan sonuçları yorumlanmış ve farklı tarzdaki Lane-Emden tipi diferansiyel denklemlere uygulanmasına yönelik önerilere yer verilerek tez çalışması tamamlanmıştır.