Diferansiyellenebilen bazı farklı türden konveks fonksiyon sınıfları için kesirli integral operatörleri içeren integral eşitsizlikleri

Bu tez çalışmasında, diferansiyellenebilir bazı farklı türden konveks fonksiyon sınıfları için kesirli integral operatörleri içeren yeni integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Konveks fonksiyon kavramı, analizin birçok alanında olduğu gibi, eşitsizlikler kuramında da önemli bir yere sahiptir. Bu kapsamda, eksponansiyel konvekslik, trigonometrik konvekslik, $s$-konvekslik ve $h$-konvekslik gibi özel konvekslik türleri ele alınarak, bu fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipi eşitsizliklerin genelleştirilmiş biçimleri elde edilmiştir. Tezin birinci bölümünde, konveks fonksiyon kavramının tarihsel gelişimi sunulmuş; klasik konvekslikten başlayarak, farklı türden konveks fonksiyonlara dair literatürde yer alan çalışmalar değerlendirilmiş ve bu fonksiyonların integral eşitsizliklerdeki yeri aktarılmıştır. Bu bölüm, tezin konusuna yön veren temel araştırmaların tanıtılması açısından önem arz etmektedir. İkinci bölüm olan Kuramsal Temeller kısmında, çalışmanın ispat sürecinde sıkça kullanılan tanım ve teoremlere yer verilmiş; ayrıca, ilgili fonksiyonel analiz kavramları ayrıntılı biçimde sunulmuştur. Böylece sonraki bölümlerde yapılan çıkarımların kuramsal altyapısı oluşturulmuştur. Üçüncü bölüm olan Materyal ve Yöntemler kısmında, araştırma bulgularına yön veren ve literatürde daha önce ortaya konmuş olan belirli lemma, teorem ve teknik yöntemler açıklanmıştır. Bu bölümde, çalışmada kullanılan analitik teknikler ile Hermite-Hadamard tipi eşitsizliklerin genelleştirilmesinde uygulanan matematiksel yapılar sistematik bir biçimde sunulmuştur. Dördüncü bölümde Araştırma Bulguları başlığı altında, çalışmanın orijinal katkısını oluşturan yeni teoremlere yer verilmiştir. Eksponansiyel, trigonometrik, $h$-konveks ve $s$-konveks fonksiyon sınıfları için çeşitli integral eşitsizlikleri elde edilmiş; bu eşitsizliklere Hölder, Young ve Power Mean eşitsizlikleri uygulanarak sonuçların sınırları belirlenmiştir. Ayrıca, belirli özel fonksiyonlar ve seçimler için elde edilen sonuçlara örnekler verilmiştir. Beşinci ve son bölüm olan Tartışma ve Sonuç kısmında ise çalışmanın özgün yönleri ve literatüre katkıları vurgulanmış, çalışmanın sınırlılıkları değerlendirilmiş ve ileride yapılabilecek olası araştırmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur. Sonuç olarak bu tez, farklı konvekslik türlerine sahip diferansiyellenebilir fonksiyonlar için kesirli integral operatörlerini içeren yeni ve kapsamlı integral eşitsizlikleri ortaya koyarak hem eşitsizlikler kuramına hem de konveks analiz literatürüne anlamlı katkılar sunmaktadır.