Differential Galois theory

Galois teorisi, polinomların köklerini çalışmak için güzel bir araç. Bu bağlamda diferansiyel Galois teorisi, Galois teorisinin lineer diferansiyel denklemler üzerine analoğu olarak görülebilir. Bu tezde diferansiyel cisimleri ve lineer diferansiyel denklemlerlerin Picard-Vessiot genişlemelerini, cisimlerin ve parçalanış cisimlerinin benzeşimi olacak şekilde kuracağız. Ardından diferansiyel Galois grubu tanımlayacağız ve üzerinde lineer cebirsel grup yapısı olduğunu göstereceğiz. Bunu kullanarak, Galois teorisindeki denkliğin benzerinin, diferansiyel Galois grubun cebirsel altgrupları için olduğunu söyleyeceğiz. Ayrıca, diferansiyel Galois grubun birim bileşeninin çözünür olmasının Liouvillian fonksiyonların bir tavsifi olduğunu bulacağız. Bu Galois teorisindeki polinomların radikal olarak çözümünü inceleyen duruma benzerlik göstermekte. Bunun sonucu olarak, elementer fonksiyonların diferansiyel Galois gruplarının birim bileşenlerinin abelyen olduğunu göstereceğiz. Böylelikle $\int e^{-x^2}$ fonksiyonunun elementer olamayacağının sonucunu çıkartacağız. Son olarak, diferansiyel Galois grubu ile Tannakacı kategoriler arasındaki bağlantıdan söz edeceğiz.