Diferensiyel transform metodu ile uç eklentili kirişlerin titreşim analizi

Kiriş-uç kütle sistemlerinin dinamik analizi robot kolları ve manipulatörler gibi mekanik sistemlerin başarılı bir şekilde tasarlanması açısından oldukça önemlidir. Literatürdeki birçok çalışmada bu sistemlerin serbest titreşimini analitik olarak çözümlemek için az sayıda değişken kesitli kiriş modeli dikkate alınmış, çoğunlukla sabit kesitli kiriş modeli kullanılmıştır. Ayrıca, birçok çalışmada uç kütlenin noktasal, kiriş ve uç kütle koordinat merkezlerinin de çakışık olduğu kabul edilmiştir. Bu çalışmada burulmaya ve iki farklı düzlemde eğilmeye maruz, kiriş ve uç kütle merkezlerinin çakışık olmadığı ve uç kütlenin üç boyutlu (3B) olarak kabul edildiği bir sistem ele alınmıştır. Matematiksel modelleme yapılırken Euler-Bernoulli (EB) ve Timoshenko kiriş teorileri kullanılmıştır. Ayrıca kirişin malzeme ve geometri özelliklerinin değişken, kirişin sol ucunun ankastre (A) veya serbest (S) olabileceği dikkate alınmıştır. Enerji yaklaşımını temel alan Hamilton prensibi ile sistemin hareket denklemleri ve muhtemel tüm sınır şartları elde edilmiştir. Hareket denklemleri öncelikle sabit kesitli kiriş için analitik olarak çözülmüştür. Aynı kirişin sonlu elemanlar (SE) yöntemi ve deneysel modal analiz ile elde edilen doğal frekans ve mod şekilleri analitik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Hareket denklemleri yüksek mertebeden diferansiyel denklemler içerdiğinden bunların analitik olarak çözümlenmesi özellikle değişken kesitli kiriş için oldukça zordur. Bu sebeple bu çalışmada son yıllarda ilgi çeken Diferansiyel Transform Metodu (DTM) uygulanmıştır. Timoshenko kiriş teorisine göre elden edilen sonuçlar yine SE ve deneysel sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Son olarak, değişken kesitli kiriş modelinin serbest titreşim analizi için DTM'nin yetersiz olmasından dolayı diğer bir yarı-nümerik yöntem olan Multi-Step Diferansiyel Transform Metodu (MDTM) uygulanmıştır. Timoshenko kiriş teorisine göre MDTM ile elde edilen sonuçlar SE ve deney verilerileriyle doğrulanmıştır. Fakat EB kiriş teorisine göre elde edilen sonuçlar, bu teoriye uygun boyuttaki değişken kesitli numunenin hazırlanmasının zorluğundan dolayı, sadece SE yöntemi ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca, kiriş uzunluğu, uç kütle boyutları, kesit daralma oranı (taper ratio) gibi parametrelerin doğal frekanslar üzerindeki etkisi incelenmiştir. Sonuç olarak DTM ve MDTM ile elde edilen sonuçların SE ve deneysel modal analiz yöntemleriyle uyumlu olduğu gözlenmiştir.