Farklı Lie süper cebirlerin differensiyel ifadeleri ve fiziksel problemlerdeki uygulamaları

Lie cebirleri yıllardır çalışılmakta ve kuantum mekanik problemlerinin çözümündeki rolleriçok iyi bilinmektedir. Özellikle, tam ve kısmi çözülebilir kuantum mekanik sistemler sahipoldukları Lie cebirsel özelliklerine göre sınıflandırılırlar. Lie cebiri, matematik ve fizikçileriçin geçerli tekniklerden daha fazla avantaj sağlayıp ortak bir dil oluşturarak cebirsel bir temelsağlar. Bu tezde, temel olarak Lie cebirsel tekniği çerçevesinde kuantum optik problemlerininçözümü incelendi ve bu çalışma üç kısımdan oluşur.Tezin temel amaçlarından bir tanesi Lie (süper) cebirinin uygulanabilirlik alanınıgenişletmemize olanak sağlayan bir takım yeni cebirsel tekniklerin geliştirilmesidir. Çoksayıda kuantum optiksel Hamiltonyanların spektrumu çoklu-bozon sistemlerden tek bozonlusistem formuna dönüştüren yeni bir benzerlik dönüşüm tekniği tanımlanarak elde edildi. Budönüşüm ilgili Hamiltonyanın çözülebilirliğinin belirlenmesinde öncelik eder.Tezin bir diğer iddiasıda spin 1/2 parçacık sistemlerin Hamiltonyanlarının yenidenformülleştirilmesiyle çözülebileceğidir. Bu iddiayı desteklemek için köşegenleştirme metodugeliştirildi. Spin 1/2 parçacık Hamiltonianlarının çözümünde, köşegenleştirme metodun çokgeniş alanda kuantum mekanik problemleri çözümünde kolaylıkla uygulanabileceği ve birçokyeni bakış açısı sağladığı tartışıldı.Her iki metot Dirac denkleminin çözümünün yanında kuantum optiksel Hamiltonyanlarınçözümünde de uygulandı. Bu bağlamda ikinci harmonik üretimi problemi, kuantum dot'takielektronların etkileşimi, Jaynes-Cummings modeli, spin-yörünge çiftleşmesini içerenkuantum dot ve Dirac denklemi çözüldü. Bu fiziksel sistemlerin SU(2), SU(1,1), OSP(2,1) veOSP(2,2) gruplarıyla ilişkili olduğu gösterildi.Tez ayrıca Ekart potansiyelinin süpersimetrik kuantum mekanik metodu kullanılarak s-dalga Klein-Gordon denklemindeki çözümünüde içermektedir.Tezde geliştirilen metodların esas amacı çoklu-bozon yada çoklu-fermiyon-bozonsistemleri içeren diğer fizik Hamiltonyanların çözümü için genişletilebilecek olmasıdır.Anahtar Kelimeler: Lie (süper) cebiri, (Kısmi)tam çözülebilen potansiyeller, Diracdenklemi, Klein-Gordon denklemi