COVID-19 modelinin dinamik analizi

Bu tez çalışmasında, Covid-19 pandemisinin yayılım dinamikleri matematiksel modelleme yöntemleri ile incelenmiştir. Çalışmada öncelikle klasik deterministik modellerden SIR ve türevleri ele alınmış, bu modellerin temel üreme sayısı (R_0), denge noktaları ve kararlılık analizleri gerçekleştirilmiştir. Daha sonra, Covid-19 için geliştirilen matematiksel modellerin analizi yapılmış, çözümün pozitifliği, sınırlılığı ve değişmez bölgeleri araştırılmıştır. Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler kullanılarak salgının hafıza etkisi ve uzun vadeli bağımlılık yapısı incelenmiş; Caputo, Uyumlu ve Grünwald-Letnikov türevleri temelinde oluşturulan kesirli modeller, analitik ve nümerik yöntemlerle çözülmüştür. Bu kapsamda, Homotopi Analiz Metodu (HAM), q-HATM, Varyasyonel İterasyon Yöntemi (VIM) ve Standart Olmayan Sonlu Fark (NSFD) şemaları uygulanmış, elde edilen çözümler karşılaştırmalı olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, stokastik diferansiyel denklemler kullanılarak Covid-19'un belirsizlik içeren yayılım süreci modellenmiş ve Euler–Maruyama, Milstein ve Runge–Kutta yöntemleriyle nümerik çözümler elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, zaman gecikmeli diferansiyel denklemlerle bağışıklık ve kuluçka süresi gibi etkilerin modele yansıması sağlanmıştır. Elde edilen sonuçlar, Covid-19'un yayılım sürecinin yalnızca deterministik modellerle değil, kesirli mertebeden ve stokastik modellerle de daha gerçekçi bir şekilde açıklanabileceğini göstermektedir. Bu yönüyle tez, hem epidemiyolojik modelleme literatürüne hem de kesirli analiz ve nümerik yöntemlerin uygulamalarına katkı sağlamaktadır.