Eliptik kuaterniyon matrislerinin tekil değer ayrışımı ve onların görüntü işlemedeki uygulamaları

Dijital ortamlardaki görüntüler m satır, n sütuna sahip sayısal matrislerle ifade edilirler. Görüntü sıkıştırma, iyileştirme, ayrıştırma gibi görüntü işleme teknikleri görüntüyü ifade eden bu matrislere uygulanır. Görüntü işleme süreçlerinde renkli görüntüleri temsil için kullanılan geleneksel renkli görüntü seyrek matris modelleri üç ayrı renk kanalı (Red, Green ve Blue kanalları) arasındaki ilişkiyi göz ardı eder. Dolayısıyla birçok görüntü işleme süreçlerinde renkli bir görüntünün kanalları tek tek işlenmekte veya görüntü gri tonlamalı hale dönüştürülmektedir. Bu durum görüntü işleyen cihazların hem bellek yükünü hem de işlemci yükünü artırmakta ve performans değerlerini düşürmektedir. Bu tez kapsamında yukarıda bahsedilen problemin üstesinden gelmek amacıyla renkli görüntülerin bağımsız renk kanallarını bir bütün olarak ele alabilen, eliptik kuaterniyon matris teorisini kullanan yeni bir renkli görüntü seyrek matris modeli önerilerek elde edilen teoriler yardımıyla eliptik kuaterniyon tabanlı renkli görüntü sıkıştırma, iyileştirme ve ayrıştırma gibi metotlar elde edilmiştir. Oluşturulan bu tez 6 bölümden oluşmaktadır ve planı aşağıdaki gibidir: Tezin birinci bölümünde tezdeki problemin tanıtıldığı giriş bölümüne yer verilmiştir. Bu bölümde tezin kapsamı ve amacından bahsedilip literatürde konuyla ilgili yer alan çalışmalar hakkında gerekli bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde çalışmamız boyunca kullanacağımız eliptik kompleks sayılar ve onların matrislerinin, eliptik kuaterniyonlar ve onların matrislerinin temel cebirsel özellikleri verilmiştir. Daha sonra ise renkli görüntüler ve renkli görüntü işleme konularının temel kavram ve uygulamalarına yer verilmiştir Üçüncü bölümde çalışmanın orjinal teorik kısmı yer almaktadır. Bu bölümde öncelikle eliptik sayı katsayılı ve değerli N'inci dereceden monik polinomların köklerine, eliptik kompleks matrislerin özdeğer-özvektörlerine ve tekil değer ayrışımı kavramlarına dair tanımlar verilerek ilgili teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Eliptik kompleks matrislerin tekil değer ayrışımının bir sonucu olarak eliptik kompleks matrislerin pseudo tersleri ve en küçük kareler çözümü elde edilmiştir. Son olarak elde edilen veriler ışığında çeşitli algoritmalar geliştirilmiştir. Çalışmanın dördüncü bölümünde eliptik kompleks matrisler için elde edilen tüm tanım ve teoremler, kurulan yapı koruyan dönüşümler yardımıyla elemanları eliptik kuaterniyon olan matrislere genelleştirilmiştir. Ayrıca çalışmanın ilerleyen kısımlarında elde edilmiş olan teoremler ışığında eliptik kompleks ve eliptik kuaterniyon matrislerin özdeğer-özvektör, tekil değer ayrışımı, en küçük kareler metodu, pseudo tersleri vb. cebirsel özelliklerinin elde edilmesine dair algoritmalar verilmiştir. Beşinci bölüm projenin uygulamaya dair olan kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde öncelikle renkli görüntülerin eliptik kuaterniyon temsilleri verilmiştir. Daha sonra eliptik kuaterniyon matrisler için geliştirdiğimiz tekil değer ayrışımı yardımı ile renkli görüntülerin yeniden yapılandırması ve sıkıştırılması yöntemi ele alınmıştır. Bu amaçla geliştirdiğimiz sıkıştırma yöntemini kullanarak yeniden yapılandırılan renkli görüntülerin görsel kalitesi literatürde mevcut olan diğer hiperkompleks tabanlı sıkıştırma algoritmaları ile karşılaştırılarak elde ettiğimiz metodun performans değerlendirmesi yapılmıştır. Son bölümde çalışmada elde edilmiş olan sonuçlara ve önerilere yer verilerek tez tamamlanmıştır.