Esnek metrik uzayları topolojisi

Bu tezin ikinci bölümünde esnek kümelerle ilgili kısa bir literatür bilgisi ile birlikte bazı temel kavram ve özellikler verilmektedir. Üçüncü bölümde, esnek eleman ışığında esnek metrik uzaylar üzerinde detaylı bir çalışma yapılmaktadır. Bu bölümde, esnek kümeler üzerine esnek eleman yardımıyla kurulan esnek metrik yapısı verilmekte, esnek metrik uzaylar ile klasik metrik uzaylar arasındaki geçişler incelenmekte ve bazı örnekler verilmektedir. Aynı zamanda esnek alt uzay, esnek metrik uzaylarda uzaklık ve çap kavramları ve onların bazı özellikleri verilmektedir. Esnek açık ve esnek kapalı yuvarlar, esnek komşuluk, esnek iç, esnek açık ve kapalı kümeler incelenmekte ve birçok özelliği verilmektedir. Esnek açık kümelerin elemanter esnek birleşimi esnek açık olduğu halde iki esnek açık kümenin elemanter esnek kesişimi esnek açık olmayabilir. Bu yüzden esnek açık kümelerin kesişimlerinin esnek açık olacak şekilde esnek metrik uzaylar üzerine bir kısıtlama getirilmektedir (M5 şartı). (M5) şartını sağlayan her esnek metrik uzayın bir esnek elemanter topolojik uzay olduğu görüldükten sonra esnek metrik uzaylarda esnek yığılma elemanları, esnek kapanış elemanları gibi topolojik özellikler çalışılmaktadır. Ayrıca esnek metrik uzaylarda esnek elemanlardan oluşan dizilerin yakınsaması, Cauchy dizileri ve esnek metrik uzaylarda tamlık kavramları ve onların bazı özellikleri verildikten sonra Banach sabit nokta teoremi ispatlanmaktadır. Dördüncü bölümde, esnek metrik uzayların kompaktlığı ve sürekliliği üzerine çalışılmaktadır. Bu bölümde esnek metrik uzaylarda dizisel kapalılık, dizisel kompaktlık, esnek ağ, esnek total sınırlılık, Lebesgues elemanı ve esnek dizisel süreklilik kavramları tanımlanmakta ve bazı temel özellikleri ispatlanmaktadır. Aynı zamanda elemanter esnek metrik topolojik uzayda esnek açık örtü ve esnek kompaktlık tanımları yapılmaktadır. Her esnek metrik uzay elemanter esnek topolojik uzay olmadığından bu uzayda dizisel kompaktlıkla kompaktlığın farklı olduğu görülmektedir. Buna rağmen (M5) şartını sağlayan esnek metrik uzaylarda dizisel kompaktlıkla kompaktlığın, dizisel süreklilik ile sürekliliğin aynı oldukları ispatlanmaktadır. Bu bölümde dizisel kompaktlık ve kompaktlığın bazı özellikleri de verilmektedir. Bu tezin özellikle dördüncü bölümünden elde edilen sonuçlar, bu konulardaki çalışmalar için kaynak teşkil edecek niteliktedir. Anahtar kelimeler: Esnek küme, esnek eleman, elemanter esnek işlemler, esnek metrik, elemanter esnek topoloji, tamlık, Banach sabit nokta teoremi, total sınırlılık, dizisel kompaktlık, kompaktlık, süreklilik.