Akustik saçılma probleminin sonlu elemanlar yöntemi ile 2 ve 3 boyutta çözümü

Klasik saçılma teorisinde iki temel problem; zaman-harmonik akustik veya elektromanyetik dalgaların nüfuz edilebilen, homojen olmayan bir kompakt destek ortamdan ve nüfuz edilemez bir engelden saçılması problemidir. Bu tezde, yarıçap doğrultusunda homojen olmayan kaplanmış küresel nesnelerle ilgili akustik saçılma problemi, iki-boyutlu silindirik ve üç-boyutlu küresel nesneler için araştırılmıştır. Kaplanmış silindirik/küresel nesnelerle ilgili saçılma problemleri teorik olarak ilginç olmasının yanı sıra, akustik gizleme, çapraz saçılma bölüm azaltılması, tıpta ultrasond ve okyanus akustiği gibi pratik uygulama alanlarına da sahiptir. Akustik dalgalar skalar alanlar olmasına karşın, araştırmaya değer çeşitli özellikleri mevcuttur. Bunladan ilki, elektromanyetik problemlerin çoğunlukla skalar problem- lere indirgenebilir olmasıdır. Bu argüman için bir örnek vermek gerekirse, akustik dalgalar için basınç değişimi p(r,t), elektromanyetikteki E(r,t) elektrik alanına karşılık gelir. Dolayısıyla, akustik problemler, matematiksel olarak oldukca karmaşık olabilen vektör elektromanyetik problemlerine yaklaşım olarak kullanilabilir. Hesaplamalı bilimlerde öncelikli hedef, büyük boyutlu problemleri etkin bir şekilde çözmek amaciyla Yüksek Başarımlı Hesaplamayı etkin sekilde kullanmaktır. Hem akustik hem de elektromanyetik saçılma problemlerinde ve genel olarak tüm hesaplamalı bilimlerde, karşılaşılan büyük boyutlu problemler nedeniyle bilgisayar simülasyonları masraflı hesaplamalar gerektirdiğinden, bu alanlardaki problemlerin çözümünde verimli paralel algoritmalara ihtiyaç duyarız. Böylece bu tezde amacımız, deal.II ve Trilinos gibi yenilikçi kütüphaneler kullanarak verimli bir paralel kod geliştirmektir. Bu çalışmada, yarıçap doğrultusunda homojen olmayan silindirik/küresel nesnelerle ile ilgili akustik saçılma problemi deal.II kütüphanesi kullanılarak geliştirilen bir kod ile Sonlu Elemanlar Metodu uygulanarak nümerik olarak çözülmüştür. Kodun geliştirilmesi amacıyla kütüphanenin bünyesinde mevcut halde bulunan ve Laplace probleminin çözümü için yazılmış örnek bir kod, akustik saçılma problemine ilişkin dalga denklemine uygun şekilde modifiye edilmiş ve gerekli fonksiyon sınıfları eklenerek genişletilmiştir. Geliştirilmiş olan bu kod, boyuttan bağımsız olarak çalıştırılabilir olup, problemin 2 ve 3 boyutta çözümünü mümkün kılmıştır. Boyuttan bağımsızlık özelliği deal.II kütüphanesinin sahip olduğu bir özellik olup, kodun geliştirilmesi aşamasında koda eklenen her bir fonksiyona boyut değişkeni parametre olarak geçilerek bu özelliğe sadık kalınmıştır. Böylece yalnızca boyut parametresinin değiştirilmesi ile hem 2 hem de 3 boyutta sonuçlar alınabilmektir. Bunun ötesinde kodu 1 boyutta koşturarak da sonuç almak mümkündür. Fakat Sonlu Elemanlar Yönteminin bir boyuttaki karşılığı çok anlamlı olmamakla birlikte, bir boyuttaki bir çözüm alanının sonlu elemanlara ayrıştırılması sıklıkla başvurulan bir yöntem değildir. Bu anlamda bu tezde 1 boyutlu problemin çözümüne dair sonuç bulunmamaktadır. Kodun geliştirilmesinin ardından, Yapınsal Çüzümler Metodu (Method of Manu- factured Solution) ile doğrulaması yapılmıştır. Doğrulama sonucunda çıktı olarak elde edilen fonksiyon, Vislt görüntüleme aracı kullanılarak görüntülenmek suretiyle doğrulama amacıyla kullanılan sürekli fonksiyonun grafiği ile karşılaştırılmıştır ve sonuçların çakıştığı gösterilmiştir. Bu şekilde görsel çıktılar karşılaştırılarak yapılan doğrulamalara niteliksel doğrulama denir. Bununla birlikte nümerik çözümün doğrulanması amacıyla, yoğunluk fonsiyonu ρ'nun sabit kabul edildiği durum göz önünde bulundurularak nümerik çözümden elde edilen çözümün, problemin analitik çözümü ile karşılaştırılması yapılmış ve sonuçların çakıştığı gözlenmiştir. Analitik çözümün formülasyonu Appendix-A'da ve nümerik çözümün analitik çözümden elde edilen çözümler ile karşılaştırılmasının sergilendiği grafik, 5. bölümde mevcuttur. Sonlu Elemanlar Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen lineer sistemin çözümü, Trilinoslineer cebir kütüphanesi için deal.II kütüphanesi arayüzü kullanılarak yapılmıştır. Sonlu Elemanlar Yönteminin uygulanması ile oluşan lineer sistemlerde matrislerin seyrek (elemanlarının çoğu sıfır olan matris) olması sebebiyle matrisin sıfıra eşit olan elemanlarını elemek ve bilgisayar hafızasını daha verimli kullanmak için sıkıştırma algoritmaları uygulanmıştır. Bu işlemi gerçekleştirmek amacıyla Trilinos kütüphanesi kullanılarak Sıkıştırılmış Satır Depolaması (Compressed Row Storage) Metodundan faydalanılmıştır. Simülasyonlar çeşitli konfigürasyonlar altında yapılmış ve elde edilen sonuçlar grafikler aracılığıyla sergilenmiştir. İki tabakalı silindirik/küresel cisimlerde akustik basınç değişimi ya da bir diğer adıyla akustik toplam alanın ölçülmesinde, ortam profilini belirleyen parametrelerin çesitli değerleri için nümerik sonuçlar elde edilmiştir. Ortam profilini belirleyen fonksiyonlar; yoğunluk fonsiyonu ρ(r), dalga katsayısı k(r), sıkıştırılabilirlik fonksiyonu ( r) olarak sıralanabilir. Bu fonksiyonlar ̄ olup çeşitli konfigürasyonlar altında yalnızca radyal uzaklık olan r'nin fonksiyonu sabit ya da sürekli değerler alabilmektedir. İki katmanlı silindirik / küresel cisimlerde kaplanmış kürenin yoğunluğu radyal mesafeye bağlı sürekli bir fonksiyon, kaplama ortamının yoğunluğu ise sabit bir değer olarak kabul edilir. Tek katmanlı bir alan için hem yoğunluk hem de dalga sayısı fonksiyonu farklı konfigürasyonlarda sürekli ve sabit değerler alır. Bu konfigürasyonlardaki sonuçlar, yoğunluk fonksiyonu ρ'nun sabit alınıp alınmamasına göre büyük ölçüde farklılık göstermektedir. Hem bir hem de iki katmanlı alanlar için sıfır Dirichlet sınır koşulları dış yüzey üzerinde zorlanır. Böylece simülasyonlarda herhangi bir dışa giden dalga bulunmaz ve Mükemmel Uyumlu Tabaka'nın (PML) uygulanması gerekliliği ortadan kalkar. Bu çalışmada sonlu elemanlar metodunda elemanların elde edilmesi amacıyla kullanılan Uyarlamalı Izgara Geliştirme yönteminin önem taşıdığı söylenebilir. Simülasyonlar, kullanılan ızgara geliştirme yönteminin tatmin edici bir çözünürlük sağladığını ve hesaplama süresi açısından fayda sağladığını göstermektedir. Kullanılan ızgara geliştirme yönteminin avantajları ve performans açısından sağladığı yararlar hızlanma analizleri yapılarak gösterilmiştir. Ayrıca kodun JURECA üzerinde yüzlerce işlemci üzerinde ölçeklendiği gösterilmiştir. Statik ızgara geliştirme metodunun duvar zamanı ile uyarlamalı ızgara geliştirme yönteminin duvar zamanı karşılaştırılarak, Uyarlamalı Izgara Geliştirme Yönteminin performans avantajları incelenmiştir. Bunun yanı sıra, farklı konfigürasyonlarda elde edilen sonuçlar sunulmuş ve küresel nesnenin akustik profilini belirleyen fonksiyonların uygun bir şekilde seçilmesinin simülasyonlarda önemli yere sahip olduğu gösterilmiştir. Bu tez çalışmasında geliştirilmiş olan kod, akustik/elektromanyetik düz ve ters saçılma problemlerinin çözümünde kullanılmak için iyi bir temel oluşturmuştur. Kodda yapılacak olan sınırlı değişiklikler ve eklenecek fonksiyonlar ile farklı problemlerin çözümünde kullanılabilmesi mümkündür. Son olarak, bu tez çalışmasındaki simülasyon sonuçları, geliştirilen kodun Al- manya'nın Jülich şehrinde bulunan Jülich Süperbilgisayar Merkezindeki JURECA süperbilgisayarı üzerinde koşturulması ile elde edilmiştir.