Fizikte bazı özel problemlerin eliptik bikuaterniyonlar ile temsili

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; ilk alt başlıkta literatür özetine yer verilerek kompleks sayılar, p-kompleks sayılar, kuaterniyonlar gibi matematikte çok önemli sayı sistemleri, fizikteki Lorentz dönüşümleri, açısal momentum ve Dirac denklemi, rölativistik elektromanyetizma ve Maxwell denklemleri, Proca-Maxwell denklemleri gibi bazı önemli çalışmaların genel bir değerlendirmesi yapılmıştır ve ikinci alt başlıkta bu tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde, eliptik bikuaterniyonlar cebri tanıtılarak eliptik bikuaterniyonlar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, özel görelilik ile uyum içerisinde olan Lorentz dönüşümleri ilk defa eliptik bikuaterniyonlar ile incelenmiştir. Eliptik bikuaterniyonlar açısından özel matrisler tanımlanarak bu özel matrisler yardımıyla 4x4 tipinde eliptik ve 8x8 tipinde reel matrisler verilmiştir. Ayrıca sol Hamilton operatörüne karşılık gelen matris temsilleri sayesinde eliptik bikuaterniyonların cebirsel yapısında olmayan değişme özelliği sorunu ortadan kalkmıştır. Daha sonra uzay-zamanı ilişkilendiren eliptik bikuaterniyon ifade edilmiştir. Ayrıca bu ifadenin eliptik matris temsili verilmiştir. Bu sayede rölativistik dönüşüm bağıntısının sonucunda elde edilen eliptik bikuaterniyonun uzay ve zaman bileşenleri kolaylıkla görülebilmektedir. Eliptik bikuaternionların cebirsel yapısının bir özelliği olarak I^2=p<0 olduğundan p=-1 alarak eliptik bikuaterniyonların kompleks yapıyı kapsadığı da gösterilmiştir. Daha sonra rölativistik dönüşüm bağıntısının yardımıyla elde edilen Lorentz dönüşümlerinin, eliptik bikuaterniyonlar ile de ifade edilebileceği görülmüştür. Ayrıca elde edilen bu matematiksel denklemlerin matris temsilleri verilmiştir. Daha sonra elektrik ve manyetik alanların rölativistik dönüşüm bağıntısı, eliptik bikuaterniyonlar vasıtasıyla incelenmiştir ve rölativistik elektromanyetizma bağıntıları elde edilmiştir. Bu bağıntıları elde etmek için iki farklı yöntem kullanılmıştır. Burada ilk yöntem eliptik Lorentz dönüşümleri altında elde edilen elektrik alan ve manyetik alandır. Diğer yöntem, eliptik bikuaterniyonik rölativistik dönüşüm bağıntısı yardımıyla elde edilen elektrik ve manyetik alanın rölativistik biçimleridir. Elde edilen bu sonuçlar karşılaştırılarak hangi yöntemin kullanışlı olduğu araştırılmıştır. Dördüncü bölümde ise eliptik bikuaterniyonlar ile açısal momentum ve Dirac denklemi ve çözümleri araştırılmıştır. Bu düşünceyle eliptik bikuaterniyonların eliptik Pauli matrisleri ve eliptik taban matrisleri verilmiştir. Daha sonra eliptik bikuaterniyonik açısal momentum ifade edilmiştir. Ayrıca serbest parçacık için Dirac denkleminin eliptik bikuaterniyonik yeni formülasyonu ifade edilerek bu denklemin çözümleri ele alınmıştır. Daha sonra rotasyonel parçacık için eliptik bikuaterniyonik Dirac denklemi ifade edilmiştir. Beşinci bölümde ise eliptik bikuaterniyonik rölativistik esnek çarpışma problemi ele alınmıştır. İlk olarak bir parçacığın eliptik bikuaterniyonik momentumu, hızı gibi nicelikleri tanımlanmıştır. Bu ifadelerin eliptik bikuaterniyonlar açısından matris temsilleri verilmiştir. Daha sonra Lorentz dönüşümleri için rölativistik dönüşüm bağıntısı verilmiştir. Ayrıca rölativistik dönüşüm denklemi ile eliptik bikuaterniyonik rölativistik esnek çarpışma problemi çözülerek gerekli sonuçlar verilmiştir. Altıncı bölümde ise tezin sonuçlarının bir değerlendirmesi yapılarak bundan sonra yapılacak olan araştırmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur.