Kapalı ortamlara yerleştirilen objelere ilişkin düz ve ters saçılma problemleri

Bu tez çalışmasında, mükemmel iletken bir yüzey ile kapatılan ortamlara gömülü dielektrik cisimlerin görüntülenmesi gerçekleştirilmiştir. Tüm örneklerde boş uzay manyetik geçirgenliği kullanılmıştır. Boş uzayın iletken bir yüzey ile çevrelenerek incelenmesindeki amaç, yüzeylerden yansıyacak alanların etkisini gözlemleyebilmektir. Oluşan yansımaların görüntü kaynakları gibi davranarak daha iyi sonuçlar ortaya çıkaracağı öngörülmüştür. Öncelikle keyfi cisimler için saçılan alan hesabı güçlü bir nümerik yöntem olan Momentler Metodu yardımı ile yapılmıştır. Daha sonra saçıcıların konumu, geometrisi ve fiziksel özellikleri, iletken çevrelemenin olduğu ve olmadığı iki farklı ortam için ayrı ayrı bulunmuştur. Tüm uygulamalar MATLAB ortamında gerçekleştirilmiştir. Momentler Metodu 1960'lardan beri yaygın olarak kullanılan bir frekans domeni çözücüdür. MoM teorisi, zamanda harmonik elektromanyetik alan integral denklemlerini ayrıklaştırarak lineer bir matris sistemi tasarlamayı hedeflemektedir. Lineer cebir teknikleri uygulanarak, problem matris denklemleri için kolaylıkla çözülebilmektedir. MoM çözümündeki integral denklemi Fredholm denkleminin tanımı gereği Green fonksiyonu içermektedir. Green fonksiyonu analitik olarak hesaplandığı için MoM yarı nümerik bir metot olarak kabul edilmektedir. Saçılma problemleri düz ve ters saçılma problemleri olmak üzere iki kategoriye ayrılmıştır. Düz saçılma bilinen gelen alan (kaynak), saçıcı ve ortam parametreleri kabulü altında saçılan alanları hesaplamaktadır. Diğer taraftan, ters saçılma gelen ve saçılan alanların bilindiği durumlarda cisim profillerinin elde edilmesiyle ilgilenmektedir. Düz saçılma problemleri iyi tanımlanmış problemlerdir; bu yüzden çözümleri vardır, tektir ve kararlıdır. Ancak ters saçılma problemleri için kötü koşulluluk (ill-conditioned) olarak bilinen başlangıç verisindeki küçük hataların sonuçta çok büyük hatalara sebep olması durumu ortaya çıkabilmektedir. Çözüm matris sisteminde gerçekleştirildiği için, koşul sayısının çok büyük olduğu hallerde matrisler kötü koşullu olabilmektedir. Bu yüzden, ters problemlerin yeniden formüle edilmesi gerekmektedir. Problemi çözülebilir hale getirebilmek için ek varsayımlar yapılmalıdır. Bu işleme regülarizasyon denilmektedir. 1963 yılında A. N. Tikhonov kendi soyadıyla anılan bir regülarizasyon yöntemi önermiştir. Bu tezdeki örneklerde ortaya çıkmış olan tüm kötü koşulluluk durumları Tikhonov regülarizasyonundan yararlanılarak yok edilmiştir. Bu çalışmada öncelikle kapalı ortamlara gömülü cisimlere ilişkin ters saçılma problemi, ilgili Green fonksiyonu yardımıyla bir integral denklem sistemi şeklinde ifade edilmiştir. İlgili Green fonksiyonu silindirik harmonikler cinsinden bir seri ile analitik olarak bulunmuştur. Probleminin formülasyonundaki integral denklem düz problemi de ifade ettiğinden, öncelikle düz problem kanonik bir yapı için Momentler Metodu ile çözülmüştür ve saçılan alanlar elde edilmiştir. Bahsedildiği gibi Momentler Metodu uygulanırken integral denklemi ayrıklaştırılarak her bir hücre için toplam alan hesabı yapılır. Hücre boyutlarını olabildiğince küçük seçmek cisimlerin daha iyi modellenmesini sağlayacaktır. Bu çalışmadaki örneklerde kullanılan objeler kenar uzunlukları en çok λ/16 olan karesel hücrelere ayrılmıştır. Cismin olabildiğince küçük parçalara ayrılması elbette önemlidir ama matrislerdeki aşırı büyümeler hesaplama yükünü arttırmaktadır ve MATLAB ortamında işlem yapmak mümkün olamamaktadır. Bu yüzden, hücre boyutları genelde λ/10 ile λ/20 arasında seçilmektedir. MoM yönteminin formülasyonunun ve ölçülen saçılan alan verisinin doğruluğu çok önemlidir. Nümerik yöntemin doğruluğunu teyit etmek için dairesel silindirik bir objeye ilişkin analitik çözüm gerçekleştirilmiştir. Green fonksiyonu iki boyutlu enine manyetik polarize çizgisel bir kaynak olarak kullanılmıştır. Görülmüştür ki simülasyon alanına tek bir çizgisel kaynak enjekte edildiği durumlarda cisim görüntülenmesi yapılırken bazı durumlarda iyi sonuçlar ortaya çıkmamaktadır. Bu sebeple, çoğu örnekte cisimler birden çok kaynak yardımıyla uyarılmıştır. Dahası, birden çok gözlem noktası saçıcının etrafına eşit aralıklarla yerleştirilmiştir. Düz problem çözümü yapılıp saçılan alanlar ölçüldükten sonra kapalı ortamlara gömülü cisimlerin konumları ve fiziksel özelliklerinin belirlenmesi için probleme tersleme algoritmaları uygulanmıştır. Ters saçılma problemi ilk olarak ancak özel bazı kısıtlama ve koşullarda geçerli, fakat oldukça basit bir yöntem olan Born Yaklaşımı ile daha sonra da daha genel bir metot olan Newton yöntemi ile çözülmüştür. Born Yaklaşımı, çalışma frekansı ve aranan cisim fonksiyonunun düşük olduğu durumlarda iyi sonuçlar vermektedir. Born metodu cisim fonksiyonunu bulmak için, problemin integral denklemindeki toplam alanlar yerine sadece gelen alan verisi yazılmasına olanak sağlamaktadır. Diğer bir deyişle, saçılan alanların ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu varsayılmaktadır. Daha sonra düz problem çözümünde olduğu gibi integral denklem ayrıklaştırılır ve matris sistemine geçilir. Ama önceden de bahsedildiği gibi lineer cebir teknikleri uygulanırken bazı kötü koşullu matrislerle karşılaşılmaktadır. Bu sebeple Tikhonov regülarizasyonu uygulanmıştır. Diğer yandan, Newton metodu herhangi bir koşul gerektirmez, bu yüzden daha gelişmiş bir metot olarak kabul edilir. Newton yöntemi, cisim fonksiyonun bulunması için sunulmuş iteratif bir yaklaşımdır. Aranan cisim fonksiyonu için bir başlangıç değerinin belirlenir. Metot, gerekli adımları tekrarlayarak gerçek değere yaklaşmayı hedeflemektedir. Her döngü de cisim fonksiyonu güncellenmektedir ve belirli bir hata olasılığına göre gerçek değere yeteri kadar yaklaşıldığında döngü durdurulmaktadır. Ters saçılma probleminin çözümü kapalı ortamlar için verildikten sonra mükemmel iletken yüzey kaldırılır. Düz ve ters problem çözümü boş uzay için uygun Green fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. Cisimlerin yerleştirildiği ortam boş uzay olabileceği gibi dilektrik bir malzeme ile de doldurulmuş olabilir. Mükemmel iletkenlerle kapatılan ortamların, cisimlerin konum ve fiziksel özelliklerinin belirlenmesindeki etkileri birçok örnek yardımıyla test edilmiştir. Burada, iletken yüzeyin yarıçapının seçimi çok önemlidir. Gözlem noktaları ve iletken tabaka arasındaki en uygun uzaklığın λ/4 olduğu kabul edilir ve bu gerçek örneklerle desteklenmiştir. Tersleme algoritmasının uygulanması için belirlenen yüzey alanın büyüklüğü de ayrıca incelenmiştir. Born Yaklaşımı belirli durumlar için iyi sonuç vermektedir. Cisim fonksiyonundaki artış ile birlikte sonuçlar kötü yönde etkilenmekte ve cismin görüntülenmesi mümkün olmamaktadır. Bu yüzden, aynı konfigürasyon ve ortam parametreleri için Newton metodu uygulanmıştır. Newton yönteminin zayıf yönü ise cisim fonksiyonu için uygun bir başlangıç koşulu seçilmediği takdirde çözüme ulaşmanın çok uzun süre alabilecek olmasıdır. Bunlar dışında, ortamda birden çok saçıcı var iken Born ve Newton metotlarıyla cisim görüntülenmesi gerçekleştirilmiştir. Kısaca toparlamak gerekirse, ilk olarak düz problem çözümünün doğruluğu analitik yöntemler yardımıyla kontrol edilmiştir. Ters problem çözümünde Born Yaklaşımı ve Newton yöntemleri başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Mükemmel iletken ile kapatılan ortamlara yerleştirilen cisimlerin konum, geometri ve fiziksel özellikleri elde edilmiştir. Maalesef kapalı ortamlar varsayıldığı gibi saçıcıların belirlenmesinde büyük iyileştirmeler sağlayamamıştır. En azından çoğu örnek için büyük zararlar da vermemektedir. Dielektrik veya iletken sınırlar simülasyon alanını etkileşimlerden korumaktadır, bundan dolayı bazı avantajları olmalıdır.