Genelleştirilmiş kısmi metrik uzaylarda sabit nokta teorisi

Sabit nokta teorisi bir dönüşümü için şeklindeki problemlerin çözümünü inceler. Bu teori sadece matematiğin alt dallarında değil mühendislik, biyoloji, fizik, tıp, optimizasyon ve ekonomi gibi birçok disiplinde uygulama alanına sahiptir. Tam metrik uzaylarda sabit nokta çalışmalarının ilk adımı 1922'de S. Banach tarafından Banach daralma prensibi ile atılmıştır. Bu prensip, sabit noktanın varlığını ve tekliğini garantiler. Birçok araştırmacı tarafından Banach daralma prensibinin genellemeleri kullanılarak sabit nokta teorisiyle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Bu yöndeki çalışmalar, metrik uzayların genellemesi ya da dönüşümler üzarindeki daralma şartlarının genellemesiyle yapılmaktadır. Bu çalışmada ilk olarak sabit nokta teorisinin tarihsel gelişimi, temel tanım ve teoremler, Banach sabit nokta teorisi ve metrik uzaylarda bazı genişlemelerinden sözedilmiştir. Sonrasında ise metrik uzayın genellemeleri olan kısmi metrik uzay, metrik uzay, asimetrik metrik uzay, genişletilmiş metrik uzay ve topolojik yapıları tanıtılmıştır. S. G. Matthews bir noktanın kendine olan uzaklığının sıfırdan farklı olabileceği fikrine dayanarak metrik uzaydan farklı bir topolojik yapıya sahip olan kısmi (partial) metrik uzayı tanımladı. Yeni tanımlanan bu uzay matematiğin birçok alt dalı ve farklı disiplinlerde olmak üzere, özellikle bilgisayar biliminde geniş uygulama alanı bulmuştur. Birçok araştırmacı tarafından farklı daralma şartları altında bu uzayda sabit nokta teoremleri elde edilmiştir. I. A. Bakhtin ve S. Czerwik metrik aksiyomlarından üçgen eşitsizliğini herhangi reel katsayısıyla genişleterek metrik uzayı tanımladı. Bu uzayın metrik uzaydan daha genel olduğu açıktır. Akabinde ise bu katsayıyı bir fonksiyon olarak alan T. Kamran ve ark. genişletilmiş metrik uzayı tanımladı. Bu iki uzayda da sabit nokta teoremleri çeşitli daralma şartları altında ispatlanmıştır. Metrik uzaylarda simetri şartının kaldırılmasıyla 1931'de asimetrik metrik uzaylar W. A. Wilson tarafından tanımlandı. Bu uzayda simetri özelliği olmadığından birçok topolojik kavram yeniden tanımlanmıştır. Biyoloji, bilgisayar bilimleri gibi birçok alanda uygulaması bulunmaktadır. Daha sonra kısmi metik uzayın genellemesi olarak S. Shukla tarafından kısmi metrik uzay, A. Gupta ve P. Guatam tarafından ise asimetrik kısmi metrik uzay tanımlanıp, topolojik yapıları inşa edildi. Bu uzaylarda farklı daralma şartlarını sağlayan dönüşümlerin sabit nokta teoremleri ispatlandı. Sabit nokta teoremlerinde birçok daralma şartı kullanılmakla birlikte bu çalışmada daralma, Geraghty daralma, daralma ve bunların genellemelerinden yararlanılmıştır. Bu çalışmada kısmi metrik uzaylarda daralma dönüşümü tanımlanmıştır. Farklı daralma dönüşümlerinin bir genellemesi olan bu daralma dönüşümü kullanılarak ortak sabit nokta teoremi ispatlanmıştır. Buna bağlı olarak bazı sonuçlar elde edilmiştir. Asimetrik kısmi metrik uzaylarda daralma dönüşümü ele alınarak bir dönüşümünün sabit noktasının varlığı ve tekliği gösterilip, buna bağlı olarak bazı sonuçlara ulaşılmıştır. Son olarak asimetrik kısmi genişletilmiş metrik uzay tanımlanmış ve bazı topolojik özellikler inşa edilmiştir. Sonrasında ise daralma dönüşümü ile temel sabit nokta sonuçları elde edilmiştir.