Genelleştirilmiş metrik uzaylarda tek değerli ve çoğul değerli dönüşümler için bazı sabit nokta ve ortak sabit nokta teoremleri

Sabit nokta teorisi, doğrusal olmayan fonksiyonel analiz, doğrusal olmayan operatör teorisi, topoloji, matematiksel modelleme ve uygulamaların dikkate değer bir karışımı ile karakterize edilen yirmi birinci yüzyılın büyüleyici ve sürekli gelişen bir alanıdır. Bu teori, doğrusal olmayan analizdeki en önemli araştırma alanlarından biridir. Çünkü birçok gerçek dünya probleminde sabit nokta teorisi, uygulamalarda doğal olarak ortaya çıkan problemlerin çözümlerinin varlığını tespit etmek için kullanılan temel matematiksel araçtır. Sonuç olarak, sabit nokta teorisi saf ve uygulamalı matematikte önemli bir çalışma alanıdır ve gelişmekte olan bir araştırma sahasıdır. Sabit nokta teorisinin kapsamı, sadece sonsuz boyutlu fonksiyon uzaylarının geometrik teorisini ve operatör-teorik gerçek dünya problemlerini kapsamakla kalmaz, aynı zamanda mühendislikten uzay bilimine, hidromekanikten astrofiziğe, kimyadan biyolojiye, teorik mekanikten biyomekaniğe ve ekonomiden stokastik oyun teorisine kadar disiplinler arası alanların geniş bir yelpazesini içerir. Bu köklü kavramlar ve teknikler, çeşitli uygulamalı alanlarda karşılaşılan fenomenler için daha gerçekçi ve doğru modeller geliştirmek amacıyla araçlar sağlar. Sabit nokta teorisi, Tx=x türündeki doğrusal olmayan denklemlere çözüm bulma yöntemlerine ışık tutmaktadır; burada T, bir metrik uzayın, normlu bir doğrusal uzayın, topolojik bir vektör uzayının veya uygun bir uzayın bir alt kümesi üzerinde tanımlanan bir öz eşlemdir. Bu bağlamda, sabit nokta teorisi, matematiksel analiz ve uygulamalı matematikte geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir ve bu da onu modern matematiğin vazgeçilmez bir parçası haline getirmektedir. Metrik sabit nokta teorisi, matematiksel analiz ve topolojinin önemli bir dalı olup, metrik uzaylarda tanımlanan dönüşümlerin sabit noktalarının varlığını ve özelliklerini incelemektedir. Bu teori, Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlamış ve zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir. Uzaklık fonksiyonunun değiştirilmesi, var olan fonksiyondan bazı özelliklerin çıkarılması ya da yeni özelliklerin eklenmesi ile literatüre birçok yeni topolojik yapı girmiştir. Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlayan bu teori, zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir ve modern matematiğin vazgeçilmez bir parçası olmuştur. Toplanabilirlik teorisi, dizi uzayları, bulanık teori, Banach uzaylarının geometrisi gibi matematiği ilgilendiren uygulamaların yanı sıra mühendislikten uzay bilimine hidromekanikten astrofiziğe, kimyadan biyolojiye, teorik mekanikten biyomekaniğe ve ekonomiden stokastik oyun teorisine kadar disiplinler arası alanlarda geniş bir yelpazede uygulama sahasına sahip olduğundan metrik sabit nokta teori bu yeni metrik yapıları ile oldukça zengin bir hale gelmiştir. Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Bir ve ikinci bölümler literatür taraması şeklinde iken üç, dört ve beşinci bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Altıncı bölümde ise sonuçlar ve öneriler kısmına yer verilmiştir. Birinci bölümünde metrik sabit nokta teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca metrik uzayları genelleyen çeşitli uzayların tanımları yapılmış ve özellikleri incelenmiştir. Bir çok araştırmacının ortaya koyduğu Banach daralma prensibinin ya da bir diğer ifade ile Banach sabit nokta teoreminin genellemeleri olarak ya metriğin üzerindeki şartların değiştirilerek yeni uzayların oluşturulması, ya da dönüşümler üzerindeki daralma şartlarının değiştirilerek literatüre kazandırılması amaçlanmıştır. İkinci bölümde ise çalışmanın devamında kullanılan bazı genel metrik yapılarına ve bu yapıların özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, asimetrik modüler b-metrik uzay ile Archimedean olmayan asimetrik modüler b-metrik uzay yapıları tanımlanıp bu uzayların topolojik yapıları hakkında bazı bilgiler sunulmuştur. Archimedean olmayan asimetrik modüler b-metrik uzayında simülasyon ve kıyaslama fonsiyonları yardımıyla yeni bir daralma dönüşümü oluşturarak sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca elde edilen sabit nokta teoremleri Ulam-Hyers kararlılık problemi uygulanmıştır. Bunun yanı sıra, bu sonuçlar kullanılarak bir Caputo tipi doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemin tek çözümüne ulaşılmıştır. Dördüncü bölümde, modular b-metrik-benzeri uzay kavramı modular metrik-benzeri uzay ve modular b-metrik uzay kavramları yardımıyla tanımlanmıştır. Oluşturulan yeni uzayın bazı topolojik özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, R ikili bağıntısını dahil ederek, R-modular b-metrik benzeri uzayların çerçevesi genişletilmiştir. Z-simülasyon fonksiyonunu ve E-tipi daralma yapıları dahil ederek, Geraghty büzülme tipi dönüşümlerini içeren sabit nokta sonuçları elde edilmiştir. Bununla birlikte, R ikili bağıntısı yoluyla türetilen, grafiksel modular b-metrik-benzeri uzay tanımı lüteratüre kazandırılmıştır. Bu yapı üzerinde dinamik programlamada çok önemli olan bir fonksiyonel denklemler sınıfı için çözümlerin varlığı ve RLC paralel devresinde elektrik akımına ilişkin başlangıç değer problemlerinin çözümü araştırılmıştır. Beşinci bölümde ise Archimedean olmayan modüler metrik uzayda, çok değerli rasyonel θ-tipli daralma dönüşümünün sabit noktasının varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Ayrıca Archimedean olmayan modüler metrik uzayın boş olmayan alt kümesinin sonlu ε-sıralanabilir olması durumunda yani alt küme üzerindeki herhangi iki uygun bağlantılı eleman arasında ε-sınırı altında N-uzunluğunda bir sıralının oluşturulmasıyla, çok değerli rasyonel θ-tipli daralma dönüşümünün sabit noktasının varlığı gösterilmiştir. Bu sonuçlar, matematiksel uygulamalardan biri olarak, grafla donatılmış Archimedean olmayan modüler metrik uzaya genelleştirerek desteklenmiştir. Son bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlara ve literatüre kazandırılan yapıların uygulanabilirliği ile ilgili öneriler kısmına yer verilmiştir.